5宮崎大学 2025年 数学 第5問解答・解説

(1)
$\{1,2,\ldots,n+1\}$ から $k$ 個を選ぶ方法を、$n+1$ を選ばない場合と選ぶ場合に分ける。前者は ${}_{n}\mathrm{C}_{k}$ 通り、後者は残りの $n$ 個から $k-1$ 個を選ぶので ${}_{n}\mathrm{C}_{k-1}$ 通りである。両場合は重ならず、すべての選び方を尽くすから
$$\boxed{{}_{n+1}\mathrm{C}_{k}={}_{n}\mathrm{C}_{k}+{}_{n}\mathrm{C}_{k-1}} \qquad(k=1,2,\ldots,n).$$

(2)
二項定理を $(1-1)^{n+1}$ に用いると
$$\sum_{k=0}^{n+1}(-1)^k{}_{n+1}\mathrm{C}_{k} =(1-1)^{n+1}=0.$$
よって求める等式が成り立つ。

(3)
二項定理により
$$1-(1-x)^n=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{}_{n}\mathrm{C}_{k} x^k.$$
両辺を $x$ で割ると
$$\frac{1-(1-x)^n}{x} =\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{}_{n}\mathrm{C}_{k} x^{k-1}.$$
また、左辺は有限等比和として
$$\frac{1-(1-x)^n}{x}=1+(1-x)+(1-x)^2+\cdots+(1-x)^{n-1}.$$
これらを $0$ から $1$ まで積分する。右辺を項別に積分すると
$$\int_0^1\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1}{}_{n}\mathrm{C}_{k} x^{k-1}\,dx =\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}{}_{n}\mathrm{C}_{k}.$$
一方、有限和の表示から
$$\int_0^1\bigl(1+(1-x)+\cdots+(1-x)^{n-1}\bigr)\,dx =\sum_{j=0}^{n-1}\frac1{j+1} =1+\frac12+\cdots+\frac1n.$$
両式は同じ積分を表すので
$$\boxed{1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n =\sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k+1}}{k}{}_{n}\mathrm{C}_{k}}.$$