2旭川医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

回転体の断面積を積分して V(t) を求め、導関数の符号を単調関数 h に帰着させて極大点の一意性と指定評価を示す。

(1)

線分PQを $0\leqq u\leqq1$ の範囲で $P$ から $Q$ へ $X(u)=(a(1-u),au,b+(c-b)u)$ と表す。高さ $z=b+(c-b)u$ で回転面の半径の二乗は $r^2=a^2\{(1-u)^2+u^2\}$ だから、断面は半径 $r$ の円板である。よって $V=\pi\displaystyle\int_0^1r^2\left|\dfrac{dz}{du}\right|\,du=\pi a^2|c-b|\displaystyle\int_0^1\{(1-u)^2+u^2\}\,du=\dfrac{2\pi a^2}{3}|c-b|$. したがって $V(t)=\dfrac{2\pi}{3}t^2|\cos t-\sin t|$ である。

(2)

(1)

$0<t<\dfrac{\pi}{4}$ では $V'(t)=\dfrac{2\pi}{3}t\{2(\cos t-\sin t)-t(\cos t+\sin t)\}$ である。$\cos t+\sin t>0$ よりこの符号は $h(t)=2\dfrac{\cos t-\sin t}{\cos t+\sin t}-t$ の符号と一致する。商の微分で $\left(\dfrac{\cos t-\sin t}{\cos t+\sin t}\right)'=-\dfrac{2}{(\cos t+\sin t)^2}$ なので $h'(t)=-\dfrac{4}{(\cos t+\sin t)^2}-1<0$. また $h(0)=2>0$, $h(\dfrac{\pi}{4})=-\dfrac{\pi}{4}<0$ であり、$0<t_0<\dfrac{\pi}{4}$ を満たす零点 $t_0$ をただ1つ持つ。従って左の区間で $V$ は $t_0$ まで増加し、その後減少する。一方 $\dfrac{\pi}{4}<t<\dfrac{\pi}{2}$ では $V'(t)=\dfrac{2\pi}{3}t\{2(\sin t-\cos t)+t(\sin t+\cos t)\}>0$ なので、この区間に極大点はない。以上より極大点は $t_0$ ただ1つである。

(2)

$h(\dfrac{\pi}{6})=4-2\sqrt3-\dfrac{\pi}{6}$. $\left(\dfrac{26}{15}\right)^2>3$ より $\sqrt3<\dfrac{26}{15}$ であり、与えられた $\pi<3.15=\dfrac{63}{20}$ と合わせると $h(\dfrac{\pi}{6})>\dfrac{8}{15}-\dfrac{21}{40}=\dfrac{1}{120}>0$. $h'(t)<0$ より $h$ は減少し、 $h(\dfrac{\pi}{4})<0$ だから $\dfrac{\pi}{6}<t_0<\dfrac{\pi}{4}$. 最後に $\cos t-\sin t$ は $0<t<\dfrac{\pi}{2}$ で減少するため $0<\cos t_0-\sin t_0<\cos(\dfrac{\pi}{6})-\sin(\dfrac{\pi}{6})=\dfrac{\sqrt3-1}{2}<\dfrac{37}{100}$. よって $\dfrac{V(t_0)}{V(\dfrac{\pi}{2})}=\dfrac{4t_0^2}{\pi^2}(\cos t_0-\sin t_0)<\dfrac14\cdot\dfrac{37}{100}=\dfrac{37}{400}<\dfrac{1}{10}$.