4愛媛大学 2025年 数学 第4問解答・解説

次の$\Box$に適する数を、解答用紙の指定のところに記入せよ。
(1) 赤球4個、青球3個、緑球2個、白球1個が入っている袋から、同時に2個の球を取り出す。取り出した2個の球が同じ色である確率は $\boxed{\text{(ア)}}$ であり、取り出した2個の球のうち、少なくとも1個が赤球または青球である確率は $\boxed{\text{(イ)}}$ である。
(2) $f(x)=\sqrt{x^2+x+2}$ のとき、$f'(0)=\boxed{\text{(ウ)}}$ であり、$f''(0)=\boxed{\text{(エ)}}$ である。

(3) $\displaystyle \int_{1}^{e}\dfrac{\log x}{x}\,dx=\boxed{\text{(オ)}}$ である。
(4) $\displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}}x\sin 2x\,dx=\boxed{\text{(カ)}}$ である。
(5) $i$ を虚数単位、$t$ を実数とし、$z=2+3i$ とする。複素数平面上の3点
$$A(z),\qquad B(iz),\qquad C(-1+ti)$$
を考える。直線 $AB$ と直線 $BC$ が直交するとき、$t=\boxed{\text{(キ)}}$ である。また、3点 $A,B,C$ が同一直線上にあるとき、$t=\boxed{\text{(ク)}}$ である。
(6) 整式 $x^3-2x^2+3x-3$ を $x-1$ で割った余りは $\boxed{\text{(ケ)}}$ である。また、整式 $(x^3-2x^2+3x-3)^5$ を $(x-1)^2$ で割った余りを $R(x)$ としたとき、$R(0)=\boxed{\text{(コ)}}$ である。