2浜松医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(1) さいころを 2 回振り、出た目を $a,\,b$ とする。$N=6(a-1)+(b-1)$ とおくと、$N$ は $0,\,1,\,\cdots,\,35$ の 36 通りの値をとり、どれも確率 $\dfrac{1}{36}$ で出る。$N\leqq 9$ となったときは $N+1$ を結果とし、$N\geqq 10$ となったときは振り直す。結果として得られる値は $1,\,2,\,\cdots,\,10$ であり、どの値も同じ確率 $\dfrac{1}{10}$ で出る。

(2) さいころを 3 回振り、出た目を $a,\,b,\,c$ とする。$N=36(a-1)+6(b-1)+(c-1)$ とおくと、$N$ は $0,\,1,\,\cdots,\,215$ の 216 通りの値をとり、どれも確率 $\dfrac{1}{216}$ で出る。$N\leqq 99$ となったときは $N+1$ を結果とし、$N\geqq 100$ となったときは振り直す。結果は $1,\,2,\,\cdots,\,100$ で、どの値も同じ確率 $\dfrac{1}{100}$ で出る。

(3) (2) の方法で、$1$ から $100$ までの整数を独立に 200 個求め、$i=1,\,2,\,\cdots,\,100$ について $(x_i,\,y_i)$ を作る。各組は、$1\leqq x\leqq 100$、$1\leqq y\leqq 100$ の範囲の格子点の一つを一様に選んだものとみなせる。条件 $x_i^2+y_i^2\leqq 10000$ は、原点を中心とする半径 $100$ の円の内部にあることを表す。一辺 $100$ の正方形の第 1 象限にある円の部分の面積は $\dfrac{\pi\cdot 100^2}{4}$ であるから、この条件を満たす確率はほぼ $\dfrac{\pi}{4}$ である。条件を満たす $i$ の個数を $m$ とすると、$\dfrac{m}{100}\fallingdotseq\dfrac{\pi}{4}$ となり、
$$\pi\fallingdotseq\dfrac{4m}{100}=\dfrac{m}{25}$$
が得られる。このことから、円周率 $\pi$ の近似値を知ることができる。

(4) さいころを 4 回振り、$N=216(a-1)+36(b-1)+6(c-1)+(d-1)$ とおくと、$N$ は $0$ から $1295$ の値をとり、どれも同じ確率で出る。$N\leqq 999$ となったときだけ $N+1$ を採用すると、$1$ から $1000$ までの整数が同じ確率で得られる。この方法で、$1$ から $1000$ までの数の組 $(x_i,\,y_i)$ を独立に $n$ 組作り、$x_i^2+y_i^2\leqq 1000000$ を満たす組の個数を $k$ とする。(3) と同じ理由で $\dfrac{k}{n}\fallingdotseq\dfrac{\pi}{4}$ となるから、
$$\pi\fallingdotseq\dfrac{4k}{n}$$
と推定できる。範囲を $100$ から $1000$ に広げて格子の間隔を細かくし、組の個数 $n$ を大きくすると、推定の誤差は小さくなり、精度がよくなる。