4宮崎大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1)

A が三角形でないのは、受け取った 3 枚が一直線上にあるときである。3 点が一直線上にあるのは、中心 1 と直径の両端の 2 点を受け取る場合に限る。直径は 4 組（2 と 6、3 と 7、4 と 8、5 と 9）あるので、3 枚の受け取り方 ${}_{9}\mathrm{C}_{3}=84$ 通りのうち、三角形でないのは 4 通りである。したがって求める確率は
$$\dfrac{4}{84}=\dfrac{1}{21}$$
である。

(2)

カード 1 を受け取る人は 3 通り。その人が残りの 8 枚から選ぶ 2 枚は、直径の両端 4 組を除く ${}_{8}\mathrm{C}_{2}-4=24$ 通りである。この人の図形が三角形なら、他の 2 人は円周上の 3 点を受け取るので必ず三角形。従って条件を満たす配り方は $3\cdot24\cdot{}_{6}\mathrm{C}_{3}=1440$ 通り、全配り方は ${}_{9}\mathrm{C}_{3}\cdot{}_{6}\mathrm{C}_{3}=1680$ 通りで、
$$P=\dfrac{1440}{1680}=\dfrac{6}{7}.$$

(3)

A が三角形を作らないには、各回 A が中心 1 と直径の両端の一組を受け取る必要がある。条件①によりその 4 組は重複できず、4 回で全てを一度ずつ使う。2 回目は残りから A が 1、3、7 を受け取る。4 回目の C は 2、8 を含むため、A の直径組は 3、7 または 5、9 だが、前者は 2 回目の A と重なるので、4 回目の A は 1、5、9 である。3 回目の A は残りの固定カードから 1、4、8 または 1、5、9 だが、後者は 4 回目と重なるので、1、4、8 である。従って 1 回目の A は 1、2、6 である。

2 回目の B の残り一枚は 8 または 9 である。8 なら 4 と 8 を結ぶ線分が 3 回目の A と重なるので、B は 9、C は 8 である。3 回目の B の残り一枚は 5 または 9 である。9 なら 2 と 9 を結ぶ線分が 2 回目の B と重なるので、B は 5、C は 9 である。

1 回目に残るカードは 3、4、5、7、8、9 である。B は 3 を含む。7 を含むと 3 と 7 を結ぶ線分が 2 回目の A と重なり、5 を含むと 3 と 5 を結ぶ線分が 3 回目の B と重なる。残りの 2 枚を 4、8、9 から選ぶと、4 と 8 は 3 回目の A の線分、4 と 9 は 2 回目の B の線分と重なるので、B は 3、8、9 である。よって C は 4、5、7 である。

4 回目の C の残り一枚は 3、4、6、7 のいずれかである。3 なら 2 と 3 を結ぶ線分が 3 回目の B、4 なら 4 と 8 を結ぶ線分が 3 回目の A、6 なら 2 と 6 を結ぶ線分が 1 回目の A と重なる。従って 4 回目の C は 2、7、8、B は 3、4、6 である。答えをまとめると、
$$\begin{array}{c|c|c|c} \text{回}&A&B&C\\ \hline 1&1,\,2,\,6&3,\,8,\,9&4,\,5,\,7\\ 2&1,\,3,\,7&2,\,4,\,9&5,\,6,\,8\\ 3&1,\,4,\,8&2,\,3,\,5&6,\,7,\,9\\ 4&1,\,5,\,9&3,\,4,\,6&2,\,7,\,8 \end{array}$$
である。各行は 9 枚を重複なく分けている。