2岡山大学 2025年 数学 第2問解答・解説

結論：
$$\begin{aligned}(1)\;&(k,0,0),\ (k,n-k,0),\ (k,0,2(n-k))\\(2)\;&(n-k-1)^2\\(3)\;&\dfrac{(n-2)(n-1)(2n-3)}{6}\end{aligned}$$$$(1)(k,0,0),(k,n-k,0),(k,0,2(n-k))$$$$(2)(n-k-1{)}^2$$$$(3)\frac{(n-2)(n-1)(2n-3)}{6}$$

(1) 四面体の辺 $OA,\,AB,\,AC$ と平面 $x=k$ との交点を求める。$OA$ 上では $y=z=0$ だから交点は $(k,0,0)$ である。$AB$ 上では $z=0,\ x+y=n$ だから交点は $(k,n-k,0)$ である。また $AC$ 上では $y=0,\ \dfrac{x}{n}+\dfrac{z}{2n}=1$ だから交点は $(k,0,2(n-k))$ である。したがって、これらが三角形 $T_k$ の頂点である。

(2) $m=n-k$ とおくと $m\geqq1$ であり、断面の三角形は $y\geqq0,\ z\geqq0,\ \dfrac{y}{m}+\dfrac{z}{2m}\leqq1$ で表される。その内部では $y,z>0$ かつ $\dfrac{y}{m}+\dfrac{z}{2m}<1$ である。整数 $y$ は $1\leqq y\leqq m-1$ であり、各 $y$ に対して $z<2(m-y)$ を満たす正の整数 $z$ は $1,\,2,\,\cdots,\,2(m-y)-1$ の $2(m-y)-1$ 個である。よって個数は
$$\sum_{y=1}^{m-1}\{2(m-y)-1\}=\sum_{r=1}^{m-1}(2r-1)=(m-1)^2=(n-k-1)^2$$
個である。$m=1$ のときも和は空で、個数は $0$ となり、この式に一致する。

(3) 四面体の内部では $x,y,z>0$ であり、さらに $\dfrac{x}{n}+\dfrac{y}{n}+\dfrac{z}{2n}<1$ である。したがって整数 $x$ は $1\leqq x\leqq n-1$ である。各 $x=k$ における内部の整数点の個数は (2) より $(n-k-1)^2$ 個だから、求める個数は
$$\sum_{k=1}^{n-1}(n-k-1)^2=\sum_{r=0}^{n-2}r^2=\dfrac{(n-2)(n-1)(2n-3)}{6}$$
個である。