白衣のものさし
医学部数学 過去問問題を探す

宮崎大学／2023年度／前期

3宮崎大学 2023年 数学 第3問解答・解説

図形と計量図形と方程式

1問題

宮崎大学2023年度第3問
座標平面上に2点 A(−1,0),B(1,0)A(-1,0), B(1,0) がある。また、点 P(x,y)P(x,y) が x>1,y>0x>1, y>0 を満たしながら座標平面上を動くとする。このとき、次の各問に答えよ。

(1) tan⁡π12\tan\frac{\pi}{12} の値を求めよ。

(2) tan⁡∠APB\tan\angle APB を、xx と yy を用いて表せ。

(3) 点 PP が x>1,y>0,∠APB≦π12x>1, y>0, \angle APB\leqq\frac{\pi}{12} を満たしながらくまなく動くとき、点 PP の動きうる領域を座標平面上に図示せよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    2−32-\sqrt3
  • (2)
    2yx2+y2−1\frac{2y}{x^2+y^2-1}
  • (3)
    x>1,y>0,x2+(y−2−3)2≧8+43x>1,\quad y>0,\quad x^2+(y-2-\sqrt3)^2\geqq8+4\sqrt3

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1) tan⁡(π/12)=tan⁡(45∘−30∘)\tan(\pi/12)=\tan(45^\circ-30^\circ) より
tan⁡π12=1−1/31+1/3=2−3. \tan\frac{\pi}{12} =\frac{1-1/\sqrt3}{1+1/\sqrt3}=2-\sqrt3.

(2) PA→=(−1−x,−y)\overrightarrow{PA}=(-1-x,-y)、PB→=(1−x,−y)\overrightarrow{PB}=(1-x,-y) だから
PA→⋅PB→=x2+y2−1,∣PA→×PB→∣=2y. \overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=x^2+y^2-1,\qquad |\overrightarrow{PA}\times\overrightarrow{PB}|=2y.
x>1x>1 より内積は正であり、
tan⁡∠APB=2yx2+y2−1. \boxed{\tan\angle APB=\frac{2y}{x^2+y^2-1}}.

(3) 0<∠APB≦π/12<π/20<\angle APB\leqq\pi/12<\pi/2 なので、(1)(2)から
2yx2+y2−1≦2−3 \frac{2y}{x^2+y^2-1}\leqq2-\sqrt3
と同値である。従って、領域は x>1, y>0x>1,\ y>0 のうち
x2+y2−22−3y−1≧0 x^2+y^2-\frac{2}{2-\sqrt3}y-1\geqq0
を満たす部分、すなわち
x2+(y−12−3)2≧1+1(2−3)2 \boxed{x^2+\left(y-\frac1{2-\sqrt3}\right)^2 \geqq1+\frac1{(2-\sqrt3)^2}}
で表される円の外部である（円周を含む。ただし x=1x=1 と y=0y=0 は除く）。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 加法定理
  • 内積と外積
  • 円の方程式

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

宮崎大学の数学を、過去 10 年分まとめて解けるものがあったら使いたいですか？

次にやること

同じ年度の次の問題第4問へ進む図形と計量・数列・極限

宮崎大学のほかの年度

2026202520242022

似た問題を、ほかの大学で