1宮崎大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) 内積の公式 $\vec u\cdot\vec v=|\vec u||\vec v|\cos\theta$ を用いる。
$$\vec a\cdot\vec b=\frac1{\sqrt3}\cdot2\cdot\frac12=\frac1{\sqrt3},\qquad \vec b\cdot\vec c=2\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}=2,\qquad \vec c\cdot\vec a=\sqrt2\cdot\frac1{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac1{\sqrt3}.$$

(2) DはBから直線OAへの垂線の足だから、$\overrightarrow{OD}$ は $\vec b$ の $\vec a$ 方向への射影である。
$$\overrightarrow{OD}=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|^2}\vec a=\sqrt3\,\vec a, \quad \overrightarrow{DB}=\vec b-\sqrt3\,\vec a.$$
$DB\perp OD$、$|OB|=2$、$|OD|=\sqrt3|\vec a|=1$ だから、直角三角形ODBより $|DB|=\sqrt{4-1}=\sqrt3$。従って $\vec f=\vec b-\sqrt3\vec a$。

(3) $\vec f\cdot\vec a=0$、$|\vec f|^2=3$、$\vec c\cdot\vec a=1/\sqrt3$、$\vec c\cdot\vec f=\vec c\cdot(\vec b-\sqrt3\vec a)=1$。平面OABは直交する方向 $\vec a,\vec f$ で張られる。よってCの平面OABへの射影Eの位置ベクトルは
$$\overrightarrow{OE}=\frac{\vec c\cdot\vec a}{|\vec a|^2}\vec a+\frac{\vec c\cdot\vec f}{|\vec f|^2}\vec f=\sqrt3\,\vec a+\frac13\vec f.$$
従って
$$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{OE}-\overrightarrow{OC}=\sqrt3\,\vec a+\frac13\vec f-\vec c.$$

(4) 四面体OACFの底面を直角三角形OAFとする。$OA=1/\sqrt3$、$OF=|\vec f|=\sqrt3$、かつ $\vec a\cdot\vec f=0$ なので底面積は $1/2$。高さは $|CE|$。直交射影より
$$|CE|^2=|\vec c|^2-|\overrightarrow{OE}|^2=2-\left(3|\vec a|^2+\frac19|\vec f|^2\right)=2-(1+\tfrac13)=\frac23.$$
したがって
$$V_{OACF}=\frac13\cdot\frac12\cdot\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt6}{18}.$$