1徳島大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1)

$\alpha=\dfrac{\pi}{4}$、$\beta=\dfrac{\pi}{6}$とする。座標軸を回転し、$\mathrm{A}=(1,\,0)$とおく。$\angle\mathrm{AOC}=\alpha+\beta=\dfrac{5\pi}{12}$だから、
$$\mathrm{C}=\left(\cos\dfrac{5\pi}{12},\,\sin\dfrac{5\pi}{12}\right).$$
したがって
$$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|^{2}=\left(\cos\dfrac{5\pi}{12}-1\right)^{2}+\sin^{2}\dfrac{5\pi}{12}=2-2\cos\dfrac{5\pi}{12}=2-\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}=\dfrac{4+\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}.$$

(2)

$\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{3}$かつ$\beta>0$より$0<\alpha<\dfrac{\pi}{3}$である。この範囲では$\cos\alpha>0$である。条件$\sqrt{2}\sin\alpha=\cos\alpha$と$\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$から
$$\cos\alpha=\dfrac{\sqrt{6}}{3},\qquad\sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}.$$
$\mathrm{A}=(1,\,0)$とすれば$\mathrm{B}=(\cos\alpha,\,\sin\alpha)$、$\mathrm{C}=\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$である。よって
$$\overrightarrow{\mathrm{OB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(\cos\alpha,\,\sin\alpha)\cdot\left(-\dfrac{1}{2},\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\dfrac{\sqrt{6}}{6}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3-\sqrt{6}}{6}.$$

(3)

$\alpha+\beta=\pi$、$\alpha,\,\beta>0$より$0<\alpha<\pi$である。$\mathrm{A}=(1,\,0)$、$\mathrm{C}=(-1,\,0)$、$\mathrm{B}=(\cos\alpha,\,\sin\alpha)$、$\mathrm{P}=(x,\,y)$とおく。このとき$\overrightarrow{\mathrm{OA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OC}}=-1$であり、左辺は
$$\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PB}}+\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{PC}}=\cos\alpha-1-(1+\cos\alpha)x-\sin\alpha\,y+2(x^{2}+y^{2})$$
である。したがって条件式は
$$2(x^{2}+y^{2})-(1+\cos\alpha)x-\sin\alpha\,y+\cos\alpha=0$$
となる。平方完成すると
$$\left(x-\dfrac{1+\cos\alpha}{4}\right)^{2}+\left(y-\dfrac{\sin\alpha}{4}\right)^{2}=\dfrac{1-3\cos\alpha}{8}.$$
左辺は中心$\left(\dfrac{1+\cos\alpha}{4},\,\dfrac{\sin\alpha}{4}\right)$からの距離の2乗である。右辺が負なら点$\mathrm{P}$はなく、正なら円周上に無数の点$\mathrm{P}$があり、0なら中心の1点だけである。したがって条件は$\cos\alpha=\dfrac{1}{3}$である。さらに$0<\alpha<\pi$だから、$\alpha$は$\cos\alpha=\dfrac{1}{3}$を満たす角である。