3産業医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

空欄にあてはまる適切な数、式、記号などを解答用紙の所定の欄に記入しなさい。角度の単位はラジアンとする。

図1に示すように、$x-y$平面座標において$x$軸上の点$\mathrm{F}(f,\,0)$を中心とする半径$a$の円$C_{1}$を考える。円$C_{1}$上にある点$\mathrm{P}$を考える。線分$\mathrm{FP}$が$x$軸となす角度を、$x$軸から反時計回りに測ったときの値を$\theta_{1}$とおく。点$\mathrm{P}$を中心とする半径$b$の円$C_{2}$を考える。円$C_{2}$上のある点$\mathrm{S}$を考える。点$\mathrm{P}$を通り、$x$軸に平行な線を$x'$軸と呼ぶ。線分$\mathrm{PS}$が$x'$軸となす角度を、$x'$軸から反時計回りに測ったときの値を$\theta_{2}$とおく。

・点$\mathrm{P}$の座標$(x_{1},\,y_{1})$は$a$、$f$、$\theta_{1}$を用いて、
$$(x_{1},\,y_{1})=\left(\boxed{\text{セ}}\right)$$
と表される。

・点$\mathrm{S}$の座標$(x_{2},\,y_{2})$は$a$、$b$、$f$、$\theta_{1}$、$\theta_{2}$を用いて、
$$(x_{2},\,y_{2})=\left(\boxed{\text{ソ}}\right)$$
と表される。

媒介変数$t$を用いて、$\theta_{1}$を式$\theta_{1}=\omega_{1}t$と表す。ここで、$\omega_{1}$は定数で、$\omega_{1}>0$とする。同様に、$\theta_{2}$は式$\theta_{2}=\omega_{2}t+\phi$と表す。ここで、$\omega_{2}$、$\phi$は定数で、$0\leqq\phi<2\pi$とする。$t\geqq 0$とし、$t$の初期値$t=0$からの増加にともない点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{S}$がそれぞれ円$C_{1}$、$C_{2}$上を周回することを考える。点$\mathrm{P}$が円$C_{1}$上を1周するときの$t$の変化量を、点$\mathrm{P}$の周期$T_{\mathrm{P}}$と呼ぶ。

・$T_{\mathrm{P}}$の値は$\omega_{1}$を使って$\boxed{\text{タ}}$と表される。

・$T_{\mathrm{P}}=1$、$a=2$、$b=1$、$f=5$とする。点$\mathrm{P}$と原点の距離を$A$、点$\mathrm{S}$と原点の距離を$B$とし、$A$、$B$を媒介変数$t$に対して表示すると図2のようになった。ここで、実線が$A$、破線が$B$を表す。また、$t=0$と$t=1$で$|A-B|=1$となった。以上のことから、$\omega_{2}$の値は$\boxed{\text{チ}}$、$\phi$の値は$\boxed{\text{ツ}}$と求められる。

・$a>b$とする。点$\mathrm{S}$の軌跡が半径$a-b$の円になるためには、$\omega_{2}$の値は$\omega_{1}$の$\boxed{\text{テ}}$倍、$\phi$の値は$\boxed{\text{ト}}$であればよい。

・点$\mathrm{S}$の軌跡が半径$a+b$の円になるためには、$\omega_{2}$の値は$\omega_{1}$の$\boxed{\text{ナ}}$倍、$\phi$の値は$\boxed{\text{ニ}}$であればよい。

・点$\mathrm{P}$が1周する間に点$\mathrm{S}$が必ず点$(f-a-b,\,0)$と点$(f+a-b,\,0)$の両方を通過するための必要十分条件は、$\omega_{2}$と$\omega_{1}$の間に自然数$k$を用いて表される$\omega_{2}=\boxed{\text{ヌ}}$という関係が成り立ち、$\phi$の値が$\boxed{\text{ネ}}$であることである。

・$t=0$において、点$\mathrm{S}$の位置は$(f+a-b,\,0)$であった。そこから点$\mathrm{P}$が1周したとき、すなわち$t=T_{\mathrm{P}}$において、点$\mathrm{S}$の位置は$(f+a+b,\,0)$であった。さらに点$\mathrm{P}$が1周したとき、すなわち$t=2T_{\mathrm{P}}$において、点$\mathrm{S}$の位置は$(f+a-b,\,0)$であった。このように点$\mathrm{P}$の周回ごとに点$\mathrm{S}$の位置が$(f+a-b,\,0)$と$(f+a+b,\,0)$を交互にとるための必要十分条件は、$\omega_{2}$と$\omega_{1}$の間に自然数$k$を用いて表される$\omega_{2}=\boxed{\text{ノ}}$という関係が成り立ち、$\phi$の値が$\boxed{\text{ハ}}$であることである。

点$\mathrm{F}$、点$\mathrm{P}$、点$\mathrm{S}$の3点が一直線上に並び、かつ点$\mathrm{F}$と点$\mathrm{P}$の間に点$\mathrm{S}$がある状態を「蝕（しょく）」と呼ぶことにする。$z$を2以上の自然数とする。

(1) $\omega_{2}=z\omega_{1}$の関係があるとき、点$\mathrm{P}$が円$C_{1}$上を1周する間に蝕が起こる回数は$\boxed{\text{ヒ}}$回である。

(2) $\omega_{2}=-z\omega_{1}$の関係があるとき、点$\mathrm{P}$が円$C_{1}$上を1周する間に蝕が起こる回数は$\boxed{\text{フ}}$回である。