5宮崎大学 2023年 数学 第5問解答・解説

次の各問に答えよ。ただし、$\log x$ は $x$ の自然対数を表す。

(1) $a>1$ を満たす定数 $a$ と、区間 $\frac{1}{a}\leqq x\leqq a$ において連続な関数 $f(x)$ に対して、等式
$$\begin{aligned} \int_{1/a}^{a}\frac{f(x)}{1+x^2}\,dx &=\int_{1/a}^{a}\frac{f(1/x)}{1+x^2}\,dx \end{aligned}$$
が成り立つことを示せ。

(2) 定積分
$$I=\int_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\frac{1+x}{x(1+x^2)}\,dx$$
の値を求めよ。

(3) 関数 $g(x)=\frac{\log x}{1+x^2}$ は、区間 $0<x\leqq\sqrt{e}$ においてつねに増加することを示せ。

(4) (3)の関数 $g(x)$ に対して、$y=g(x)$ $(x>0)$ のグラフを $C$ とする。曲線 $C$ と $x$ 軸および直線 $x=\frac{1}{\sqrt{e}}$ で囲まれた部分の面積を $S_1$ とし、曲線 $C$ と $x$ 軸および直線 $x=\sqrt{e}$ で囲まれた部分の面積を $S_2$ とする。このとき、$S_1$ と $S_2$ は等しいことを示せ。