4宮崎大学 2023年 数学 第4問解答・解説

自然数 $k=1,2,3,\cdots$ と $n=1,2,3,\cdots$ に対して、$\theta_k(n)$ を
$$\theta_k(n)=\left(1-\frac{k}{n}\right)\frac{\pi}{2}$$
で定め、座標平面上の円 $C_n$ と直線 $L_{k,n}$ をそれぞれ
$$C_n: x^2+y^2=\frac{1}{n^2},\qquad L_{k,n}: x\sin\theta_k(n)-y\cos\theta_k(n)=0$$
とする。$C_n$ と $L_{k,n}$ との2つの交点のうち、$x$ 座標が大きい方の交点の $x$ 座標を $x_k(n)$ とする。このとき、次の各問に答えよ。

(1) $n\geqq k$ のときの $x_k(n)$ を求めよ。

(2) 次の空欄に当てはまる数または数式を求めよ。

自然数 $m$ に対して、$A_t(m)$ $(t=0,1,2,\cdots)$ を
$$A_t(m)=\sum_{k=1}^{m}x_k(k+t)$$
とし、$B_N$ $(N=1,2,3,\cdots)$ を
$$B_N=\sum_{t=0}^{N-1}A_t(N-t)$$
とする。このとき、
$$A_1(1)=\frac{\boxed{\text{あ}}}{4},\qquad A_2(1)=\frac{\boxed{\text{い}}}{6}$$
となる。また、
$$B_2-B_1=\frac{\boxed{\text{う}}}{4},\qquad B_3-B_2=\frac{\boxed{\text{え}}}{6}$$
となる。さらに、$N=2,3,4,\cdots$ に対して、
$$B_N-B_{N-1}=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}\boxed{\text{お}}$$
となる。

(3) (2)で定めた $B_N$ $(N=1,2,3,\cdots)$ について、$\displaystyle \lim_{N\to\infty}(B_N-B_{N-1})$ の値を求めよ。