1東海大学 2023年 数学 第1問解答・解説

不等式・対数法則・円と直線の距離・微分による極値・符号別の定積分・三角恒等式・正八面体の対称性を順に利用した。

(1) 連立不等式をそれぞれ整理すると
$$\frac12(4x+1)<3+x\text{すなわち} x<\frac52, \qquad 3x+1\geqq x\text{すなわち} x\geqq-\frac12.$$
したがって整数解は $0,1,2$ の3個である。

(2) $t=\log_a b$ とおくと $t\neq0$ であり、$\log_b a=1/t$ である。条件は
$$9t+\frac1t=6 \text{すなわち} 9t^2-6t+1=0 \text{すなわち}(3t-1)^2=0$$
となるから $t=\frac13$ である。底を平方すると対数の値は半分になるので
$$\log_{a^2}b+\log_{b^2}a =\frac12\log_ab+\frac12\log_ba =\frac12\left(\frac13+3\right)=\frac53.$$

(3) 円の方程式を平方完成すると
$$(x-3)^2+(y-2)^2=5$$
となり、中心は $(3,2)$、半径は $\sqrt5$ である。傾き $-\frac12$ の直線を $y=-\frac12x+c$、すなわち $x+2y-2c=0$ とおく。中心から直線までの距離が半径に等しいから
$$\frac{|3+2\cdot2-2c|}{\sqrt5}=\sqrt5 \text{すなわち} |7-2c|=5.$$
よって $c=1,6$ であり、小さい方から $\text{ウ}=1,\ \text{エ}=6$ である。

(4) $f(x)=-x^3+3x$ とおくと
$$f'(x)=-3x^2+3=3(1-x^2)$$
だから、区間内の極値候補は $x=-1,1$ である。端点も含めて値を調べると
$$f(-3)=18,\quad f(-1)=-2,\quad f(1)=2,\quad f(\sqrt3)=0.$$
したがって最大値は $18$、最小値は $-2$ である。

(5) $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ なので、被積分関数の符号は $0\leqq x\leqq1$ と $3\leqq x\leqq4$ で正、$1\leqq x\leqq3$ で負である。原始関数を
$$F(x)=\frac{x^3}{3}-2x^2+3x$$
とすると、$F(0)=0,\ F(1)=\frac43,\ F(3)=0,\ F(4)=\frac43$ である。よって
$$\int_0^4|x^2-4x+3|\,dx =\{F(1)-F(0)\}-\{F(3)-F(1)\}+\{F(4)-F(3)\}=4.$$

(6) 条件を2乗すると
$$1+2\sin x\cos x=\frac14, \qquad \sin x\cos x=-\frac38.$$
したがって $\sin x,\cos x$ はともに0でなく、
$$\tan x+\frac1{\tan x} =\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=-\frac83.$$
恒等式 $u^3+v^3=(u+v)^3-3uv(u+v)$ を $u=\tan x,\ v=1/\tan x$ に用いると、$uv=1$ より
$$\tan^3x+\frac1{\tan^3x} =\left(-\frac83\right)^3-3\left(-\frac83\right) =-\frac{296}{27}.$$

(7) 正八面体を、正方形を底面とする上下二つの正四角錐として見る。底面正方形の一辺は3だから、底面中心 $O$ から頂点 $A$ までの距離は半対角 $OA=\frac{3\sqrt2}{2}$ である。頂点 $S$ と $A$ を結ぶ辺は3であり、$SO$ は底面に垂直なので
$$SO^2=SA^2-OA^2=9-\frac92=\frac92.$$
上下の頂点と底面の四頂点はいずれも $O$ からの距離が $\frac{3\sqrt2}{2}$ である。よって6頂点を通る球の半径は $\frac{3\sqrt2}{2}$ である。

次に、面 $SAB$ は一辺3の正三角形で、その重心を $G$ とする。正八面体の対称性から $OG$ はこの面に垂直であり、内接球の半径に等しい。正三角形の高さは $\frac{3\sqrt3}{2}$ なので、$SG=\frac23\cdot\frac{3\sqrt3}{2}=\sqrt3$ である。直角三角形 $OGS$ で
$$OG^2=OS^2-SG^2=\frac92-3=\frac32,$$
したがって8面に接する球の半径は $OG=\frac{\sqrt6}{2}$ である。