2札幌医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

単位ベクトルで内角・外角の二等分線の方向を表し、三角形の面積比から内心の位置ベクトルを求める。得られた位置ベクトルを用いて交点と各垂線の長さを計算する。

(1) $\vec u=\frac{\overrightarrow{XY}}{|\overrightarrow{XY}|},\quad \vec v=\frac{\overrightarrow{XZ}}{|\overrightarrow{XZ}|}$ とおく。3点は一直線上にないから、$\vec u$ と $\vec v$ のなす角を $\theta$ とすると $0<\theta<\pi$ である。$$|\vec u+\vec v|=\sqrt{2+2\cos\theta}=2\cos\frac\theta2,\qquad \frac{\vec u+\vec v}{|\vec u+\vec v|}\cdot\vec u=\frac{1+\cos\theta}{2\cos(\theta/2)}=\cos\frac\theta2.$$同様に $\frac{\vec u+\vec v}{|\vec u+\vec v|}\cdot\vec v=\cos\frac\theta2$ である。したがって $\vec u+\vec v$ は両方の辺となす角が $\frac\theta2$ の方向を表し、これは $\angle YXZ$ の二等分線の方向である。よって、問題のベクトル $\vec u+\vec v$ は二等分線と平行である。

(2) $\vec a=\overrightarrow{OA},\quad \vec b=\overrightarrow{OB}$ とする。内心 $I$ から各辺までの距離を $r$、三角形 $OAB$ の面積を $S$ とする。$\triangle OIA,\triangle OIB,\triangle IAB$ はいずれも高さ $r$ をもち、それぞれの底辺は $OA=2,\ OB=3,\ AB=4$ なので、$$[OIA]:[OIB]:[IAB]=2:3:4.$$また $I$ は三角形の内部にあるから、これらの面積の和は $S$ である。したがって $\frac{[OIB]}S=\frac13,\quad \frac{[OIA]}S=\frac29$である。位置ベクトルを $\overrightarrow{OI}=x\vec a+y\vec b$ とおくと、面積比より $\frac{[OIB]}S=x,\quad \frac{[OIA]}S=y$ だから、$$\overrightarrow{OI}=\frac13\vec a+\frac29\vec b=\frac13\overrightarrow{OA}+\frac29\overrightarrow{OB}.$$

(3) $\angle OAB$ の内角二等分線の方向は、(1)より $\frac{\overrightarrow{AO}}{|AO|}+\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}$ である。これに垂直な外角二等分線の方向は、単位ベクトルの差
$$\frac{\overrightarrow{AO}}{|AO|}-\frac{\overrightarrow{AB}}{|AB|}=-\frac12\vec a-\frac14(\vec b-\vec a)=-\frac14(\vec a+\vec b)$$と平行である。よって外角二等分線は $\vec a+s(\vec a+\vec b)$（$s$は実数）と表せる。また $J$ は直線 $OI$ 上にあるので $\overrightarrow{OJ}=t\overrightarrow{OI}$ とおく。(2)を用いて係数を比較すると、$$\frac t3=1+s,\qquad \frac{2t}{9}=s.$$これより $t=9$ であるから、$$\overrightarrow{OJ}=9\overrightarrow{OI}=3\vec a+2\vec b=3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}.$$

(4) 余弦定理より、$$\cos\angle AOB=\frac{OA^2+OB^2-AB^2}{2\cdot OA\cdot OB}=\frac{4+9-16}{12}=-\frac14.$$三角形の内角なので $\sin\angle AOB=\sqrt{1-\cos^2\angle AOB}=\frac{\sqrt{15}}4$ であり、$$S=\frac12\cdot2\cdot3\cdot\frac{\sqrt{15}}4=\frac{3\sqrt{15}}4$$. 半周長は $\frac{2+3+4}{2}=\frac92$ である。三角形を内心 $I$ と各頂点で結ぶと、面積の和は半周長と内接円の半径 $r$ の積 $S=\frac92r$ となる。よって$$IH=r=\frac{S}{9/2}=\frac{\sqrt{15}}6.$$

(5) $O$ から直線 $AB$ までの距離を $h$ とすると、$$h=\frac{2S}{AB}=\frac{3\sqrt{15}}8.$$直線 $AB$ からの符号付き距離は、点の位置に関して一次式である。$\overrightarrow{OJ}=3\vec a+2\vec b$ で、$A,B$ の距離は0だから、この距離は $O$ の距離の係数 $1-3-2=-4$ 倍となる。したがって$$JK=4h=4\cdot\frac{3\sqrt{15}}8=\frac{3\sqrt{15}}2.$$