4福井大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1)

正四面体の辺の長さは $a=2\sqrt{2}$ である。底面 $\mathrm{QRS}$ の重心は $G\left(-\dfrac{1}{3},\,-\dfrac{1}{3},\,-\dfrac{1}{3}\right)$ である。底面の平面は $x+y+z=-1$ で、その単位法線ベクトルは $\pm\dfrac{1}{\sqrt{3}}(1,\,1,\,1)$ である。正四面体の高さは $h=a\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\dfrac{4}{\sqrt{3}}$ なので、$G$ から法線方向に $\pm\dfrac{4}{3}(1,\,1,\,1)$ だけ移動した点が $\mathrm{P}$ である。よって 2 解は $\mathrm{P}(1,\,1,\,1)$、$\mathrm{P}\left(-\dfrac{5}{3},\,-\dfrac{5}{3},\,-\dfrac{5}{3}\right)$ である。

(2)

外接球の半径は $\dfrac{a\sqrt{6}}{4}=\sqrt{3}$ である。

(3)

回転軸 $\mathrm{PT}$ は底面の重心 $G$ を通る底面の法線である。頂点 $\mathrm{P}$ から軸方向に底面まで距離 $z$ 進んだ水平断面では、面 $\mathrm{PQR}$ の線分が回転して環状領域になる。相似比 $t=\dfrac{z}{h}$（$h=\dfrac{4}{\sqrt{3}}$）として、外半径は底面の外接半径 $t\cdot\dfrac{2\sqrt{6}}{3}$、内半径は底面の内接半径 $t\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{3}$ である。断面積は $\pi t^{2}\left(\dfrac{8}{3}-\dfrac{2}{3}\right)=2\pi\left(\dfrac{z}{h}\right)^{2}$ である。積分すると、体積は
$$\displaystyle\int_{0}^{h}2\pi\left(\dfrac{z}{h}\right)^{2}\,dz=\dfrac{2\pi h}{3}=\dfrac{8\pi}{3\sqrt{3}}$$
である。