4聖マリアンナ医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1)(i) 三角形 $OAB$ の面積を $S$、$\angle AOB=\theta$ とする。三角比と内積の成分表示から
$$2S=|OA||OB|\sin\theta,\qquad OA\cdot OB=a_1b_1+a_2b_2=|OA||OB|\cos\theta.$$
したがって
$$\begin{aligned} (2S)^2 &=|OA|^2|OB|^2-(OA\cdot OB)^2\\ &=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1b_1+a_2b_2)^2\\ &=(a_1b_2-a_2b_1)^2. \end{aligned}$$$$(2S{)}^2=|OA{|}^2|OB{|}^2-(OA\cdot OB{)}^2$$$$=(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)-(a_1{b}_1+a_2{b}_2{)}^2$$$$=(a_1{b}_2-a_2{b}_1{)}^2.$$
よって $S=|a_1b_2-a_2b_1|/2$。非退化な格子点三角形ではこの成分式は0でない整数だから $S\geqq1/2$。また $O,(1,0),(0,1)$ は面積 $1/2$ の三角形を作る。従って最小面積は $1/2$、よって $\boxed{\text{ワ}=1}$。

(1)(ii) $\Delta=a_1b_2-a_2b_1=\pm1$。格子点 $P=(x,y)$ が $P=mA+nB$ を満たすとすると、成分比較から
$$m=\dfrac{xb_2-yb_1}{\Delta},\qquad n=\dfrac{a_1y-a_2x}{\Delta}.$$
分子は整数、分母は $\pm1$ なので $m,n$ は整数。

(2)(i) 格子点四角形を対角線で二つの三角形に分ける。各三角形は非退化な格子点三角形なので、(1)(i)の面積式を頂点差の成分に適用すると面積は少なくとも $1/2$。したがって四角形の面積は少なくとも1。一辺1の正方形は面積1なので最小面積は1であり、最小四角形の対角線で分けた各三角形はともに面積 $1/2$。

面積 $1/2$ の格子点三角形 $UVW$ では、頂点差の成分を $V-U=(a_1,a_2),W-U=(b_1,b_2)$ と書くと、(1)(i)の面積式から $|a_1b_2-a_2b_1|=1$。(1)(ii)を原点 $U$ から適用すると、三角形内の格子点 $Q$ は
$$Q-U=m(V-U)+n(W-U),\qquad m,n\text{ は整数}$$
と表せる。三角形内の条件は $m\geqq0,n\geqq0,m+n\leqq1$ なので、整数の組は $(0,0),(1,0),(0,1)$ の三つだけ。従って各三角形の格子点は三頂点に限られ、二つを合わせた最小四角形の周および内部の格子点は四頂点だけ。

(2)(ii) 四角形の頂点を反時計回りに $U,V,W,Z$ と並べ、対角線 $UW$ で分ける。前問より $\triangle UVW,\triangle UWZ$ はともに面積 $1/2$。ベクトル $v=(v_1,v_2),w=(w_1,w_2)$ に対して成分式
$$D(v,w)=v_1w_2-v_2w_1$$
を用いる。$p=V-U,q=W-U$ とおくと、面積式より $|D(p,q)|=1$。格子点 $Z$ は(1)(ii)により
$$Z=U+mp+nq,\qquad m,n\text{ は整数}$$
と表せる。面積 $\triangle UWZ=1/2$ だから
$$\dfrac12=\dfrac12|D(q,Z-U)|=\dfrac12|mD(q,p)|=\dfrac{|m|}{2},$$
よって $|m|=1$。対角線 $UW$ の直線は $m=0$ であり、$V$ の $m$ 座標は1。$Z$ は $V$ と反対側にあるので $m<0$、従って $m=-1$。ここで $s=n$ とおくと
$$U=(0,0),\quad V=(1,0),\quad W=(0,1),\quad Z=(-1,s),\qquad s\text{ は整数}.$$

$p,q$ は平行でないので、$m,\,n$ の組を $U+mp+nq$ に対応させる対応は一対一で、その逆も一次式である。座標上で $X_0$ と $X_1$ を結ぶ点 $(1-t)X_0+tX_1$ は、像でも $(1-t)\phi(X_0)+t\phi(X_1)$ となる。よって直線・線分はそれぞれ直線・線分に対応し、凸四角形は $(m,n)$ 平面でも凸四角形である。
辺 $UV$ の直線は $n=0$、点 $W$ は $n=1$ にある。四角形の各内角が180°未満であることから $Z$ も辺 $UV$ に関して $W$ と同じ側だから、その $n$ 座標 $s$ は正、すなわち $s>0$。
辺 $VW$ の直線は $m+n=1$、点 $U$ は $m+n=0<1$ にある。四角形の各内角が180°未満であることから $Z$ も辺 $VW$ に関して $U$ と同じ側なので、$-1+s<1$、すなわち $s<2$。
整数 $s$ は1だけだから $Z=(-1,1)$。従って $\overrightarrow{UV}=\overrightarrow{ZW}$、$\overrightarrow{VW}=\overrightarrow{UZ}$ であり、この四角形は平行四辺形。