3聖マリアンナ医科大学 2025年 数学 第3問解答・解説

$2\cos2x+1=3-4t^{2}$ なので $f=4t+|3-4t^{2}|$。$|t|\leqq\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ で $-4t^{2}+4t+3$、それ以外で $4t^{2}+4t-3$。$t$ のグラフをかき、$t$ の値1つに $x$ が何個対応するか（$0<|t|<1$ で2個、$t=\pm1$ で1個、$t=0$ で $x=0,\,\pi,\,2\pi$ の3個）を数える。

$\cos2x=1-2t^{2}$ より $2\cos2x+1=3-4t^{2}$ で、$f=h(t)=4t+|3-4t^{2}|$（$-1\leqq t\leqq1$）。

(1) $3-4t^{2}\geqq0\iff-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq t\leqq\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。

(2) $h$ は、$-1\leqq t\leqq-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ で $4t^{2}+4t-3$（$-3$ から $-2\sqrt{3}$ に減少）、$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq t\leqq\dfrac{1}{2}$ で $-4t^{2}+4t+3$（$-2\sqrt{3}$ から4に増加）、$\dfrac{1}{2}\leqq t\leqq\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ で減少（4 から $2\sqrt{3}$）、$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\leqq t\leqq1$ で $4t^{2}+4t-3$（$2\sqrt{3}$ から5に増加）。最大値5（$t=1$）、最小値 $-2\sqrt{3}$（$t=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$）。

(3) $h(t)=3$：$|t|\leqq\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ では $-4t^{2}+4t=0$ より $t=0$。$|t|>\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ では $2t^{2}+2t-3=0$、$t=\dfrac{-1\pm\sqrt{7}}{2}$ でいずれも範囲外。$t=\sin x=0$ となる $x$ は $0,\,\pi,\,2\pi$ の3個。

(4) $0<|t|<1$ の $t$ には $x$ が2個ずつ対応する。$2\sqrt{3}<k<4$ では、$h(t)=k$ の解が $0<t<\dfrac{1}{2}$、$\dfrac{1}{2}<t<\dfrac{\sqrt{3}}{2}$、$\dfrac{\sqrt{3}}{2}<t<1$ に1つずつあり、共有点は6個。ほかの $k$ では $t$ の解は2個以下（$k=4$ や $k=2\sqrt{3}$ では2個で共有点は4個、$-2\sqrt{3}<k<-3$ でも負の $t$ が2個で4個）。よって $2\sqrt{3}<k<4$。