4聖マリアンナ医科大学 2025年 数学 第4問解答・解説

座標平面における原点を極、$x$ 軸の正の部分を始線として極座標を定める。極方程式 $r=\dfrac{2}{1-\sin\theta}$ が定める曲線を $C_{1}$、極方程式 $r=\dfrac{2}{1+\cos\theta}$ が定める曲線を $C_{2}$ とする。以下の (1)〜(3) の $\boxed{\text{セ}}$〜$\boxed{\text{ツ}}$ にあてはまる適切な数または式と (4) に対する解答を解答用紙の所定の欄に記入せよ。

(1) 曲線 $C_{1}$、$C_{2}$ の交点の座標を求めると $(r,\,\theta)=(4+2\sqrt{2},\,\boxed{\text{セ}})$、$(4-2\sqrt{2},\,\boxed{\text{ソ}})$ である。ただし、$0\leqq\theta<2\pi$ とする。

(2) $C_{1}$ を直交座標に関する方程式で表すと $y=\boxed{\text{タ}}$ である。

(3) $C_{2}$ を直交座標に関する方程式で表すと $x=\boxed{\text{チ}}$ であり、$y$ を $x$ の式で表すと $y=2\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$ または $y=-2\sqrt{\boxed{\text{ツ}}}$ となる。

(4) 曲線 $C_{1}$、$C_{2}$ で囲まれた部分の面積を求めよ。なお解答用紙の所定の欄に計算の過程も記載すること。