2聖マリアンナ医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

(4)(5) は、まず a, b だけの並び（左端a・右端b）を決め、その6か所のすき間に c を3個入れると考える。c どうしが隣り合わないので1つのすき間に c は1個まで。同じ文字が隣り合うすき間には必ず c を入れる。

(1) $\dfrac{10!}{3!\,4!\,3!}=4200$。

(2) 残り9文字（a2, b4, c3）の並べ方で $\dfrac{9!}{2!\,4!\,3!}=1260$。

(3) 残り8文字（a2, b3, c3）で $\dfrac{8!}{2!\,3!\,3!}=560$。

(4) 条件 (i)〜(iv) の単語から c を除くと、左端a・右端bの a3個・b4個の並び $w$ になる。逆に $w$ の6か所のすき間（両端の外は不可：両端はa, bで決まっている）に c を3個、1か所に1個まで入れ、$w$ で同じ文字が隣り合うすき間にはすべて c を入れれば、条件を満たす単語になる。同じ文字が隣り合うすき間の数を $k$ とすると、入れ方は ${}_{6-k}\mathrm{C}_{3-k}$ 通り。
aabbbab は $k=3$（aa, bb, bb）で ${}_{3}\mathrm{C}_{0}=1$ 個。ababbab は $k=1$（bb）で ${}_{5}\mathrm{C}_{2}=10$ 個。

(5) 左端a・右端bの並び $w$ は、中の5文字（a2個、b3個）の並べ方で10通り。それぞれの $k$ を調べると
- $k=1$：abababb, ababbab, abbabab の3通り、各 ${}_{5}\mathrm{C}_{2}=10$ 個
- $k=3$：aababbb, aabbabb, aabbbab, abaabbb, abbaabb, abbbaab の6通り、各1個
- $k=5$：aaabbbb の1通り、c が足りず0個
合計 $3\cdot10+6\cdot1=36$ 個。