聖マリアンナ医科大学／2025年度／一般

1聖マリアンナ医科大学 2025年数学第1問解答・解説

指数関数・対数関数

難易度必答レベル 3/10 目安 10分編集部の評価

対象医学部医学科

1問題

聖マリアンナ医科大学2025年度第1問

a

は正の実数、

m,\,n

は2以上の整数とする。以下の (1)、(2) に対する解答を解答用紙の所定の欄に記入せよ。

(1)

\sqrt[n]{a}

の定義を述べよ。

(2) 正の実数

b

について、

(b^{m})^{n}=b^{mn}

が成り立つことを用いて、

\sqrt[n]{a^{m}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}

を示せ。

出典：聖マリアンナ医科大学 2025年度一般数学第1問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$n$ 乗すると $a$ になる正の実数（ $x>0$ 、 $x^{n}=a$ を満たすただ1つの $x$ ）
(2)
（証明） $b=\sqrt[n]{a}$ とおくと $(b^{m})^{n}=a^{m}$ 、 $b^{m}>0$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

定義は「正の数で、

n

乗すると

a

」。(2) は右辺

\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}

が「

n

乗すると

a^{m}

になる正の数」であることを示せば、定義から左辺と等しい。

解答

(1)

\sqrt[n]{a}

は、

x^{n}=a

を満たす正の実数

x

のこと（

y=x^{n}

は

x>0

で増加し、すべての正の値をとるので、このような

x

はただ1つある）。

(2)

b=\sqrt[n]{a}

とおくと

b>0

、

b^{n}=a

。与えられた性質より

(b^{m})^{n}=b^{mn}=b^{nm}=(b^{n})^{m}=a^{m}.

また

b^{m}>0

。よって

b^{m}

は「

n

乗すると

a^{m}

になる正の実数」で、(1) の定義から

b^{m}=\sqrt[n]{a^{m}}

。すなわち

\sqrt[n]{a^{m}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}

。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

累乗根の定義
一意性を使った証明

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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