3聖マリアンナ医科大学 2025年 数学 第3問解答・解説

$a,\,b$ を実数の定数とし $(a,\,b)\neq(0,\,0)$ とする。原点Oを焦点、直線 $2ax+3by=1$ を準線とする放物線を $C$ とする。つまり曲線 $C$ 上の点 $\mathrm{P}(s,\,t)$ は直線 $2ax+3by=1$ までの距離と、原点Oまでの距離とが等しい点である。以下の (1)〜(3) の $\boxed{\text{シ}}$〜$\boxed{\text{ナ}}$ にあてはまる適切な数または式を解答用紙の所定の欄に記入せよ。

(1) $s,\,t$ の満たす方程式を $a,\,b$ を用いて表すと
$$\boxed{\text{シ}}s^{2}-\boxed{\text{ス}}st+\boxed{\text{セ}}t^{2}+\boxed{\text{ソ}}s+\boxed{\text{タ}}t-1=0$$
となる。

(2) $a>0$ とする。曲線 $C$ 上を点Pが動くとき、Pの $x$ 座標 $s$ には最大値がある。その最大値を与える点をQとする。

(i) $b=0$ のとき、Qの座標を $a$ を用いて表すと $(\boxed{\text{チ}},\,0)$ となる。

(ii) $b\neq0$ のとき、Qの座標を $a,\,b$ を用いて表すと $(\boxed{\text{ツ}},\,\boxed{\text{テ}})$ となる。

(3) $a,\,b$ が、$a>0$ かつ $4a^{2}+9b^{2}=1$ を満たしつつ動くとき、点Qの描く軌跡の方程式を $y^{2}=f(x)$ とすると、関数 $f(x)=\boxed{\text{ト}}$ である。また、点Qの $x$ 座標の変域は $x\geqq\boxed{\text{ナ}}$ である。