2聖マリアンナ医科大学 2025年 数学 第2問解答・解説

座標平面において、$x=4\sqrt{3}\sin\theta(1-\cos\theta)$、$y=4\sqrt{3}(2+\cos\theta-\cos^{2}\theta)\ (0\leqq\theta\leqq2\pi)$ と媒介変数表示される曲線を $C$ とする。以下の (1)〜(3) の $\boxed{\text{ウ}}$〜$\boxed{\text{サ}}$ にあてはまる適切な数を解答用紙の所定の欄に記入せよ。

(1) $x$ の値域を求めると $\boxed{\text{ウ}}\leqq x\leqq\boxed{\text{エ}}$ となる。また、
$$\dfrac{dx}{d\theta}=-\boxed{\text{オ}}\cos2\theta+\boxed{\text{カ}}\cos\theta$$
となる。

(2) $y$ の値域を求めると $\boxed{\text{キ}}\leqq y\leqq\boxed{\text{ク}}$ となる。また、
$$\dfrac{dy}{d\theta}=\boxed{\text{ケ}}\sin2\theta-\boxed{\text{コ}}\sin\theta$$
となる。

(3) 曲線 $C$ の長さを求めると $\boxed{\text{サ}}$ である。