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聖マリアンナ医科大学／2025年度／後期

4聖マリアンナ医科大学 2025年 数学 第4問解答・解説

微分法極限

難易度必答 レベル 3/10 目安 10分編集部の評価

対象医学部医学科

1問題

聖マリアンナ医科大学2025年度第4問
微分可能な関数 f(x)f(x) の導関数 f′(x)f'(x) は、
f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)h f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
で定義される。以下の (1)、(2) に対する解答を解答用紙の所定の欄に記入せよ。

(1) nn を正の整数とする。定義にしたがって関数 f(x)=xnf(x)=x^{n} の導関数を求めよ。

(2) xx を0でない実数とする。定義にしたがって関数 f(x)=sin⁡xxf(x)=\dfrac{\sin x}{x} の導関数を求めよ。なお lim⁡h→0sin⁡hh=1\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}{h}=1 は用いてよい。

出典：聖マリアンナ医科大学 2025年度 後期 数学 第4問

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    f′(x)=nxn−1f'(x)=nx^{n-1}
  • (2)
    f′(x)=xcos⁡x−sin⁡xx2f'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^{2}}

3解答

解答を見る途中式つきの解答

考え方

(1) は二項定理で (x+h)n(x+h)^{n} を展開。(2) は通分して、sin⁡(x+h)−sin⁡x=2cos⁡(x+h2)sin⁡h2\sin(x+h)-\sin x=2\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\sin\dfrac{h}{2}。

解答

(1) 二項定理より
(x+h)n−xnh=∑k=1nnCkxn−khk−1=nxn−1+h(∑k=2nnCkxn−khk−2)→nxn−1(h→0). \dfrac{(x+h)^{n}-x^{n}}{h}=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}x^{n-k}h^{k-1}=nx^{n-1}+h\left(\sum_{k=2}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{k}x^{n-k}h^{k-2}\right)\to nx^{n-1}\quad(h\to0).

(2) x≠0x\neq0、x+h≠0x+h\neq0 のとき
1h(sin⁡(x+h)x+h−sin⁡xx)=1x(x+h){x⋅sin⁡(x+h)−sin⁡xh−sin⁡x}. \dfrac{1}{h}\left(\dfrac{\sin(x+h)}{x+h}-\dfrac{\sin x}{x}\right)=\dfrac{1}{x(x+h)}\left\{x\cdot\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h}-\sin x\right\}.
sin⁡(x+h)−sin⁡xh=cos⁡(x+h2)⋅sin⁡h2h2→cos⁡x\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\cos\left(x+\dfrac{h}{2}\right)\cdot\dfrac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}}\to\cos x なので
f′(x)=xcos⁡x−sin⁡xx2. f'(x)=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^{2}}.

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

  • 導関数の定義
  • 二項定理
  • 和積の公式

答えと解答は編集部が AI で作成したもので、大学が公表したものではありません。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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