2金沢大学 2026年 数学 第2問解答・解説

$\beta=r+is$ とおくと $r^2+s^2=1$。また $\alpha>1=|\beta|$ より $A\ne B$ である。
(1) $A,C$ の中点を表す複素数は
$$\frac{\alpha+(2\beta-\alpha)}2=\beta.$$
従って $B$ は線分 $AC$ の中点である。

(2) 直線 $AC$ は $AB$ と同じ直線である。(1)より $\ell$ は線分 $AC$ の垂直二等分線だから，直線 $\ell$ 上の点 $P$ は $PA=PC$ を満たす。従って
$$\boxed{|z-\alpha|=|z-2\beta+\alpha|}.$$
逆にこの等式を満たす点も $AC$ の垂直二等分線上にある。

(3) 原点が $\ell$ 上にあるとき(2)に $z=0$ を代入して二乗すると
$$\alpha^2=|2\beta-\alpha|^2=4-4\alpha r+\alpha^2.$$
よって $\boxed{\alpha r=1}$。

(4) $z=X+iY$ とする。$(X-r,Y-s)$ は $AB$ の方向ベクトル $(r-\alpha,s)$ に垂直なので
$$(r-\alpha)X+sY=1-\alpha r.$$
$k=1-\alpha r\ne0$ とおく。この直線は原点を通らないから，どの $P$ でも $w=1/z$ は定義できる。
$w=u+iv$ とすれば $w\ne0$，$z=(u-iv)/(u^2+v^2)$ なので，直線の式は
$$(r-\alpha)u-sv=k(u^2+v^2).$$
平方完成により
$$\left(u-\frac{r-\alpha}{2k}\right)^2+ \left(v+\frac{s}{2k}\right)^2 =\frac{(r-\alpha)^2+s^2}{4k^2}.$$
従って求める図形は，複素数
$$\boxed{\frac{\overline\beta-\alpha}{2(1-\alpha r)}}$$
を中心とし，半径
$$\boxed{\frac{\sqrt{\alpha^2-2\alpha r+1}}{2|1-\alpha r|}}$$
の円から原点を除いたものである。
実際，原点はこの円上にあるが $w=1/z$ では到達しない。一方，円上の任意の $w\ne0$ について上の変形を逆にたどると $z=1/w$ が直線 $\ell$ 上にあることが分かるため，他に除く点はない。