2広島大学 2026年 数学 第2問解答・解説

直線$\ell$の方程式は$y=mx+\sqrt3$である。これを楕円$C$の方程式に代入すると
$$x^2+\frac{(mx+\sqrt3)^2}{4}=1 \quad\text{すなわち}\quad (m^2+4)x^2+2\sqrt3mx-1=0.$$
この二次方程式の2解が$\alpha,\beta$であるから、解と係数の関係より
$$\alpha+\beta=-\frac{2\sqrt3m}{m^2+4},\qquad \alpha\beta=-\frac1{m^2+4}.$$
よって(1)を得る。

また、判別式は
$$\Delta=(2\sqrt3m)^2+4(m^2+4)=16(m^2+1)$$
である。$\alpha>\beta$より
$$\alpha-\beta=\frac{\sqrt{\Delta}}{m^2+4} =\frac{4\sqrt{m^2+1}}{m^2+4}.$$
$P,Q$は直線$\ell$上にあるので、両点の座標差は$(\alpha-\beta,\ m(\alpha-\beta))$である。したがって
$$PQ=\sqrt{(\alpha-\beta)^2+m^2(\alpha-\beta)^2} =\sqrt{1+m^2}(\alpha-\beta) =\frac{4(m^2+1)}{m^2+4}.$$
これで(2)を得る。

(3)では$x=m^2,\ D=x+4,\ p=\alpha+\beta,\ q=\alpha\beta$とおく。このとき
$$p=-\frac{2\sqrt3m}{D},\qquad q=-\frac1D,\qquad \alpha^2+\beta^2=p^2-2q=\frac{12x}{D^2}+\frac2D.$$
$P=(\alpha,m\alpha+\sqrt3),\ Q=(\beta,m\beta+\sqrt3),\ B=(0,-\sqrt3)$より、$BP^2$および$BQ^2$は、$t=\alpha,\beta$に対して
$$F(t)=(x+1)t^2+4\sqrt3mt+12$$
と表せる。ゆえに
$$\begin{aligned} BP^2+BQ^2 &=(x+1)(p^2-2q)+4\sqrt3mp+24\\ &=\frac{2(7x^2+59x+196)}{D^2}. \end{aligned}$$$$B{P}^2+B{Q}^2=(x+1)(p^2-2q)+4\sqrt{3}mp+24$$$$=\frac{2(7x^2+59x+196)}{D^2}.$$
さらに、$F(\alpha)F(\beta)$を$p,q$で整理すると
$$\begin{aligned} BP^2BQ^2 &=(x+1)^2q^2+4\sqrt3m(x+1)pq +12(x+1)(p^2-2q)+48xq+48\sqrt3mp+144\\ &=\frac{(x+49)^2}{D^2}. \end{aligned}$$$$B{P}^{2}B{Q}^2=(x+1{)}^2{q}^2+4\sqrt{3}m(x+1)pq+12(x+1)(p^2-2q)+48xq+48\sqrt{3}mp+144$$$$=\frac{(x+49{)}^2}{D^2}.$$
$BP,BQ$は正であり、$x>0$だから
$$\begin{aligned} (BP+BQ)^2 &=BP^2+BQ^2+2\sqrt{BP^2BQ^2}\\ &=\frac{2(7x^2+59x+196)+2(x+49)(x+4)}{D^2} =\frac{16(x+7)^2}{D^2}. \end{aligned}$$$$(BP+BQ{)}^2=B{P}^2+B{Q}^2+2\sqrt{B{P}^{2}B{Q}^2}$$$$=\frac{2(7x^2+59x+196)+2(x+49)(x+4)}{D^2}=\frac{16(x+7{)}^2}{D^2}.$$
したがって
$$BP+BQ=\frac{4(x+7)}{x+4}.$$
これが5に等しいので、$4(x+7)=5(x+4)$より$x=8$。$m>0$から$m=2\sqrt2$である。このとき(2)より
$$PQ=\frac{4(8+1)}{8+4}=3.$$

(4)直線$\ell$を$mx-y+\sqrt3=0$と表すと、$B$から$\ell$までの距離は
$$\frac{|m\cdot0-(-\sqrt3)+\sqrt3|}{\sqrt{m^2+1}} =\frac{2\sqrt3}{3}$$
である。(3)で$PQ=3$だから
$$[\triangle BPQ]=\frac12\cdot PQ\cdot\frac{2\sqrt3}{3} =\sqrt3.$$