3九州大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1) $a$ を固定し、$b$ について帰納法を用いる。基礎では $b=a+1$ のとき
$$\frac{b!}{a!}=a+1=b.$$
帰納段階で $k>a$ かつ $\frac{k!}{a!}\geqq k$ と仮定する。$a\geqq1$ より $k\geqq2$ なので
$$\frac{(k+1)!}{a!}=(k+1)\frac{k!}{a!}\geqq(k+1)k\geqq k+1.$$
従ってすべての自然数 $b>a$ で $\frac{b!}{a!}\geqq b$。

(2) $2a!=b!$ とする。もし $b\leqq a$ なら $a!\geqq b!$ だが、与式から $b!=2a!>a!$ となり矛盾する。よって $b>a$ であり、(1)から
$$2=\frac{b!}{a!}\geqq b.$$
また $a\geqq1$ と $b>a$ から $b\geqq2$ だから $b=2$、続いて $a=1$。実際に $2\cdot1!=2!=2$ であり、唯一の解は
$$(a,b)=(1,2).$$

(3)
式は $a,b$ について対称なので、$a\leqq b$ としてよい。$a=b$ のとき $2a!=2c!$ から $c=a$ であり、解は $(a,b,c)=(n,n,n)$ である。

$a<b$ とすると $b\geqq2$ かつ $a!<b!$ なので
$$b!<a!+b!<2b!.$$
与式より $c!=(a!+b!)/2$、従って $b!/2<c!<b!$ となる。$b\geqq3$ なら、$c\leqq b-1$ のとき
$$c!\leqq(b-1)!=\frac{b!}{b}\leqq\frac{b!}{3}<\frac{b!}{2},$$
矛盾する。$c\geqq b$ のときも $c!\geqq b!$ となって矛盾する。残る $b=2$ では $a=1$ だが、$3=2c!$ は不可能である。よって $a<b$ の場合に解はない。対称性を戻せば、求める解は $(a,b,c)=(n,n,n)$（正整数 $n$）のみ.