5九州大学 2024年 数学 第5問解答・解説

(1) $F(x)=x^{m+1}e^x(\log x)^{n+1}$ とおく。積の微分法より
$$F'(x)=x^{m+1}e^x(\log x)^{n+1}+(m+1)x^me^x(\log x)^{n+1}+(n+1)x^me^x(\log x)^n.$$
これを $1\leqq x\leqq e$ で積分する。$F(e)=e^{m+1+e}$、$F(1)=0$ なので
$$e^{m+1+e}=I(m+1,n+1)+(m+1)I(m,n+1)+(n+1)I(m,n).$$
したがって
$$\boxed{I(m+1,n+1)=e^{m+1+e}-(m+1)I(m,n+1)-(n+1)I(m,n)}.$$

(2) $t=\log x$ と置換すると、$x=e^t$、$dx=e^t\,dt$ で積分区間は $0\leqq t\leqq1$ となる。よって
$$I(m,n)=\int_0^1 e^{(m+1)t+e^t}t^n\,dt.$$
ここで $0\leqq t\leqq1$ なら $(m+1)t+e^t\leqq m+1+e$ であるから、被積分関数は非負で
$$0\leqq I(m,n)\leqq e^{m+1+e}\int_0^1t^n\,dt=\frac{e^{m+1+e}}{n+1}.$$
右辺は $n\to\infty$ で $0$ に収束する。はさみうちにより、すべての自然数 $m$ について
$$\boxed{\lim_{n\to\infty}I(m,n)=0}.$$