1九州大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(1)

3点 $P,Q,R$ が一直線上にあると仮定する。$P\neq Q$ であるから，点 $R$ が直線 $PQ$ 上にあることは，
ある実数 $t$ を用いて
$$\overrightarrow{PR}=t\,\overrightarrow{PQ}$$
と表せることと同値である。ここで
$$\overrightarrow{PQ}=Q-P=(2,0,2),\qquad \overrightarrow{PR}=R-P=(a+1,\ a^{2}-1,\ a^{3}+1)$$
であるから，成分を比較すると
$$a+1=2t,\qquad a^{2}-1=0,\qquad a^{3}+1=2t$$
を満たす実数 $t$ が存在することになる。第2式より $a^{2}=1$，すなわち $a=1$ または $a=-1$ である。

しかしこれは仮定 $a\neq -1,\ a\neq 1$ に反する。よって上のような実数 $t$ は存在せず，
3点 $P,Q,R$ は一直線上にない。（証明終）

(2)

(1)より，$-1<a<1$ の範囲では常に $P,Q,R$ は一直線上になく，三角形 $PQR$ が定まる。
$\overrightarrow{PQ}=(2,0,2)$，$\overrightarrow{PR}=(a+1,\ a^{2}-1,\ a^{3}+1)$ とし，
$\theta$ を $\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{PR}$ のなす角（$0<\theta<\pi$）とすると，三角形 $PQR$ の面積 $S$ は
$$S=\frac12|\overrightarrow{PQ}||\overrightarrow{PR}|\sin\theta$$
で与えられる。$0<\theta<\pi$ より $\sin\theta>0$ であるから，$\sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta$ と
$\cos\theta=\dfrac{\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}}{|\overrightarrow{PQ}||\overrightarrow{PR}|}$ を用いると
$$S^{2}=\frac14|\overrightarrow{PQ}|^{2}|\overrightarrow{PR}|^{2}\sin^{2}\theta =\frac14\Bigl(|\overrightarrow{PQ}|^{2}|\overrightarrow{PR}|^{2}-(\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR})^{2}\Bigr)$$
が成り立つ。

ここで
$$|\overrightarrow{PQ}|^{2}=2^{2}+0^{2}+2^{2}=8,$$
$$|\overrightarrow{PR}|^{2}=(a+1)^{2}+(a^{2}-1)^{2}+(a^{3}+1)^{2}=a^{6}+a^{4}+2a^{3}-a^{2}+2a+3,$$
$$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}=2(a+1)+0\cdot(a^{2}-1)+2(a^{3}+1)=2a^{3}+2a+4=2(a^{3}+a+2)$$
であるから，
$$|\overrightarrow{PQ}|^{2}|\overrightarrow{PR}|^{2}-(\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR})^{2} =8(a^{6}+a^{4}+2a^{3}-a^{2}+2a+3)-4(a^{3}+a+2)^{2}=4a^{6}-12a^{2}+8$$
となり，
$$S^{2}=a^{6}-3a^{2}+2.$$

右辺は $t=a^{2}$ の3次式として因数分解でき，
$$a^{6}-3a^{2}+2=(a^{2}-1)(a^{4}+a^{2}-2)=(a^{2}-1)^{2}(a^{2}+2)=(1-a^{2})^{2}(a^{2}+2)$$
であり，$-1<a<1$ では $1-a^{2}>0$ なので
$$S=(1-a^{2})\sqrt{a^{2}+2}.$$

$S$ は $a^{2}$ のみで決まるので，$t=a^{2}\ (0\leqq t<1)$ とおいて
$$\varphi(t)=S^{2}=(1-t)^{2}(t+2)=t^{3}-3t+2$$
の最大値を調べればよい（$S\geqq 0$ なので $S^{2}$ の最大と $S$ の最大は同じ $t$ で達成される）。

$$\varphi'(t)=3t^{2}-3=3(t-1)(t+1)$$

であり，$0\leqq t<1$ では $t-1<0,\ t+1>0$ より常に $\varphi'(t)<0$ となるから，$\varphi(t)$ は
$0\leqq t<1$ の範囲で単調に減少する。ゆえに $\varphi(t)$ は左端 $t=0$（すなわち $a=0$）で最大値
$$\varphi(0)=2$$
をとり，$0<t<1$ ではこれより小さい。

$a=0$ は $-1<a<1$ に含まれるから，このとき最大値が実際に達成され，
$$S_{\max}=\sqrt{\varphi(0)}=\sqrt{2}$$
である。（
$|\overrightarrow{PQ}|^{2}=8,\ |\overrightarrow{PR}|^{2}=3,\ \overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}=4$ なので
$S^{2}=\dfrac14(8\cdot3-4^{2})=\dfrac14\cdot 8=2$，$S=\sqrt2$ となり一致する。）

以上より，三角形 $PQR$ の面積の最大値は
$$\boxed{\sqrt{2}}$$
であり，これは $a=0$ のとき達成される。