2大分大学 2024年 数学 第2問解答・解説

各試行の赤い面の個数の確率を先に求め、終了規則に従って試行の得点列を列挙する。

1回の試行で出る赤い面の個数を $X$ とする。1個目のサイコロが赤となる確率は $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$、2個目のサイコロが赤となる確率は $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ である。したがって、
$$P(X=0)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{3},\qquad P(X=1)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\frac{1}{2},\qquad P(X=2)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{6}.$$
よって、(1) の答えは $\frac{1}{2}$ である。

(2) ゲームが1回目で終了するのは $X=2$ のときである。1回目で終了しない確率は $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ であり、その後の2回目で終了する確率は $\frac{1}{6}$ である。したがって、求める確率は
$$\frac{1}{6}+\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{6}=\frac{11}{36}.$$

(3) 1回目または2回目の得点が2ならそこで終了し、それ以外では次の試行に進む。得点列を順に並べて場合分けする。
$$\begin{aligned} P(T=0)&=P(0,0,0)=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27},\\ P(T=1)&=P(0,0,1)+P(0,1,0)+P(1,0,0)=3\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{6},\\ P(T=2)&=P(2)+P(0,2)+P(0,0,2)+P(0,1,1)+P(1,0,1)+P(1,1,0)\\ &=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{6}+3\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{53}{108},\\ P(T=3)&=P(1,2)+P(0,1,2)+P(1,0,2)+P(1,1,1)\\ &=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}+2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{19}{72},\\ P(T=4)&=P(1,1,2)=\left(\frac{1}{2}\right)^2\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{24}. \end{aligned}$$$$P(T=0)=P(0,0,0)={\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27},$$$$P(T=1)=P(0,0,1)+P(0,1,0)+P(1,0,0)=3\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6},$$$$P(T=2)=P(2)+P(0,2)+P(0,0,2)+P(0,1,1)+P(1,0,1)+P(1,1,0)$$$$=\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}+3\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{53}{108},$$$$P(T=3)=P(1,2)+P(0,1,2)+P(1,0,2)+P(1,1,1)$$$$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}+2\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{19}{72},$$$$P(T=4)=P(1,1,2)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2\cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{24}.$$
ここで、例えば $P(0,2)$ は1回目が0点、2回目が2点となる場合を表す。3回目まで進む場合は1回目、2回目がそれぞれ0点または1点であるため、得点の最大値は $1+1+2=4$ である。以上より、得点は $0,1,2,3,4$ であり、その確率は上のとおりである。