1名古屋市立大学 2026年 数学 第1問解答・解説

空間ベクトルの成分と内積で平面の法線、垂線の足、底面の高さを求める。底面積と高さから四面体の体積を計算する。空間座標の距離式から球面の式を導き、4頂点の座標を代入して係数を決定する。

4点の位置ベクトルを用いて順に求める。
(1) 平面OBCの法線ベクトルを$\vec{n}=(p,q,r)$とする。$\vec{n}\cdot\overrightarrow{OB}=0$、$\vec{n}\cdot\overrightarrow{OC}=0$より$3p+r=0$、$p+2q+r=0$である。$p=1$とおけば$q=1, r=-3$となるから、法線ベクトルとして$\vec{n}=(1,1,-3)$をとれる。平面OBCは原点を通るので、その方程式は$x+y-3z=0$である。垂線AHはこの法線方向に平行であるから、$H=A+t\vec{n}=(2+t,1+t,4-3t)$とおける。Hが平面上にある条件を用いると$(2+t)+(1+t)-3(4-3t)=0$、すなわち$11t-9=0$より$t=\frac{9}{11}$である。したがって$H=\left(\frac{31}{11},\frac{20}{11},\frac{17}{11}\right)$となる。実際、$H$は$x+y-3z=0$を満たし、$\overrightarrow{AH}=\frac{9}{11}(1,1,-3)$は平面OBCの法線方向なので、求める垂線の足である。
(2) $\overrightarrow{OB}=(3,0,1)$、$\overrightarrow{OC}=(1,2,1)$より$|OB|=\sqrt{10}$、$|OC|=\sqrt{6}$、$\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=4$である。$OC$の$OB$方向への正射影の長さは$\frac{4}{\sqrt{10}}$である。よって、Cから直線OBまでの距離の二乗は$6-\left(\frac{4}{\sqrt{10}}\right)^2=\frac{22}{5}$であり、この距離は$\sqrt{\frac{22}{5}}$である。したがって$\triangle OBC$の面積は$\frac12\sqrt{10}\sqrt{\frac{22}{5}}=\sqrt{11}$である。
AHの長さは$\left|\frac{9}{11}(1,1,-3)\right|=\frac{9}{11}\sqrt{11}=\frac{9}{\sqrt{11}}$である。これを底面OBCに対する高さとすると、四面体の体積は$\frac13\cdot\sqrt{11}\cdot\frac{9}{\sqrt{11}}=3$となる。
(3) 球の中心を$S(a,b,c)$、半径を$R>0$とする。空間座標の距離式より、球面上の点$P(x,y,z)$は$$(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2$$を満たす。$O(0,0,0)$も球面上にあるので$R^2=a^2+b^2+c^2$である。左辺を展開し、$u=-2a,\ v=-2b,\ w=-2c$とおくと、球面の式は$$x^2+y^2+z^2+ux+vy+wz=0$$となる。B、C、Aを代入して、$$10+3u+w=0,\qquad 6+u+2v+w=0,\qquad 21+2u+v+4w=0$$を得る。第1式から$w=-10-3u$、第2式から$v=u+2$であり、これらを第3式に代入すると$-9u-17=0$となる。よって$u=-\frac{17}{9}, v=\frac{1}{9}, w=-\frac{13}{3}$である。求める方程式は$$x^2+y^2+z^2-\frac{17}{9}x+\frac{1}{9}y-\frac{13}{3}z=0$$である。
代入して確かめると、Bでは$10-\frac{17}{3}-\frac{13}{3}=0$、Cでは$6-\frac{17}{9}+\frac{2}{9}-\frac{13}{3}=0$、Aでは$21-\frac{34}{9}+\frac{1}{9}-\frac{52}{3}=0$となり、Oでは定数項が0なので、4点すべてを通る。また、中心は$S\left(\frac{17}{18},-\frac{1}{18},\frac{13}{6}\right)$であり、$R^2=\frac{1811}{324}>0$なので、得られた式は実際に球面を表す。係数を決める連立方程式の解が一意であるため、この球面は一意である。