1札幌医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1)\ 　$\vec a+t\vec b=(3+2t,-1+2t,2+t)$ であるから、$$\lvert\vec a+t\vec b\rvert^2=(3+2t)^2+(-1+2t)^2+(2+t)^2=9t^2+12t+14=9\left(t+\frac23\right)^2+10.$$ したがって、この平方は$t=-\frac23$のとき最小値$10$をとる。$\lvert\vec a+t\vec b\rvert$は非負なので、求める最小値は$\sqrt{10}$である。　
(2) 定義域は$x>0$である。$u=\log_2 x$とおくと、$\log_2\sqrt{x}=\frac{u}{2}$、また$\log_8 x^9=\frac{9\log_2x}{3}=3u$である。よって不等式は$$8\left(\frac{u}{2}\right)^2-9u<5\quad\text{すなわち}\quad 2u^2-9u-5<0\quad\text{すなわち}\quad (2u+1)(u-5)<0.$$ したがって$-\frac12<u<5$である。底$2$の指数関数は増加するから、$$2^{-1/2}<x<2^5=32.$$
(3)\ 　$4^2=16<23<25=5^2$より$n_0=4$である。また$$\frac1{\sqrt{23}-4}=\frac{\sqrt{23}+4}{7}.$$ ここで$4<\sqrt{23}<5$より$8<\sqrt{23}+4<9$だから、$1<\frac{\sqrt{23}+4}{7}<2$となり$n_1=1$である。さらに$$\left\{(\sqrt{23}-4)^{-1}-1\right\}^{-1}=\frac{7}{\sqrt{23}-3}=\frac{\sqrt{23}+3}{2}.$$ 先の不等式から$7<\sqrt{23}+3<8$なので、$3<\frac{\sqrt{23}+3}{2}<4$となり$n_2=3$である。したがって$$n_0+(n_1+n_2^{-1})^{-1}=4+\left(1+\frac13\right)^{-1}=4+\frac34=\frac{19}{4}.$$