I慶應義塾大学 2022年 数学 第I問解答・解説

絶対値は符号が変わる区間ごとに処理する。定義域と対数法則を先に整理し、最後に合成写像を展開して数列の漸化式を解く。

(1) 絶対値の中身が変わる点 $-1,0,1$ と、右辺が非負となる条件 $x\geqq-2$ を考え、区間ごとに解く。
$$\begin{array}{ll} x\leqq-1:&4(-x-1)=x+2\text{より} x=-\frac65,\\ -1\leqq x\leqq0:&4(x+1)=x+2\text{より} x=-\frac23,\\ 0\leqq x\leqq1:&4(1-x)=x+2\text{より} x=\frac25,\\ x\geqq1:&4(x-1)=x+2\text{より} x=2. \end{array}$$
それぞれが仮定した区間に入るので、解は $-\frac65,-\frac23,\frac25,2$ である。

(2) 因数分解すると
$$(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1) =(x+1)(x^4+x^2+1)=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1.$$
各因数は整数係数で、次数はそれぞれ1,2,2、最高次係数はいずれも1である。

(3) $f$ の対数の真数が正であるためには
$$x^2(3x-2)>0,$$
すなわち $x>\frac23$。一方、$g$ の真数条件は $3x^2-2>0$、つまり $x< -\sqrt{\frac23}$ または $x>\sqrt{\frac23}$。両方を満たすのは
$$A\cap B=\left\{x\mid x>\sqrt{\frac23}\right\}.$$
ここでは $x>0$ なので、対数の底の変換により
$$f(x)+g(x)=-\frac12\log_3\{x^2(3x-2)\}+\frac12\log_3(3x^2-2) =\frac12\log_3\frac{3x^2-2}{x^2(3x-2)}.$$
底3は1より大きく、分母・分子も正であるから、これが負となる条件は
$$3x^2-2<x^2(3x-2) \quad\text{すなわち}\quad 3x^3-5x^2+2>0.$$
左辺は
$$3x^3-5x^2+2=(x-1)(3x^2-2x-2) =(x-1)(3x-1-\sqrt7)(3x-1+\sqrt7)/3$$
と因数分解できる。二次式の根は $\frac{1-\sqrt7}{3}<0$ と $\frac{1+\sqrt7}{3}$ である。定義域 $x>\sqrt{2/3}$ 上で符号を調べると
$$\sqrt{\frac23}<x<1\quad\text{または}\quad x>\frac{1+\sqrt7}{3}.$$

(4) $f_n\circ f_1=f_{n+1}$ より
$$f_n(\alpha x+\beta)=a_n\alpha x+a_n\beta+b_n =a_{n+1}x+b_{n+1}.$$
係数を比較して
$$a_{n+1}=\alpha a_n,\qquad b_{n+1}=b_n+\beta a_n.$$
初項 $a_1=\alpha$ だから $a_n=\alpha^n$。また $b_1=\beta$ であり、
$$b_n=\beta+\beta\sum_{j=1}^{n-1}\alpha^j =\beta+\beta\frac{\alpha(\alpha^{n-1}-1)}{\alpha-1} =\beta\frac{\alpha^n-1}{\alpha-1},$$
ここで $\alpha\ne1$ を用いた。
検算 (1) の各根を元の式に代入すると両辺が等しい。(2) を展開すると各次数の係数がすべて1となる。(4) の一般項は $n=1$ で $a_1=\alpha,b_1=\beta$ を与え、導いた係数漸化式も満たす。