I杏林大学 2026年 数学 第I問解答・解説

媒介変数の和差で楕円を標準形にし、平方完成と三角関数の合成で最大値を求める。焦点は主軸座標から計算し、面積最大点の接線は媒介微分で求める。

媒介変数表示から $c=\cos t,\ s=\sin t$ とおく。範囲は $0\leqq t<2\pi$ であり、常に $c^2+s^2=1$ である。

(a) 与式の和と差をとると
$$x+y-2=2c,\qquad y-x=2\sqrt5\,s.$$
したがって
$$5(x+y-2)^2+(y-x)^2=20(c^2+s^2)=20.$$
これを展開すると
$$6(x^2+y^2)+8xy-20(x+y)=0,$$
ゆえに
$$\frac34(x^2+y^2)+xy-\frac52(x+y)=0.$$

原点からの距離については
$$\begin{aligned} x^2+y^2&=(1+c-\sqrt5s)^2+(1+c+\sqrt5s)^2\\ &=2(1+c)^2+10s^2=12+4c-8c^2\\ &=\frac{25}{2}-8\left(c-\frac14\right)^2\leqq\frac{25}{2}. \end{aligned}$$$$x^2+y^2=(1+c-\sqrt{5}s{)}^2+(1+c+\sqrt{5}s{)}^2$$$$=2(1+c{)}^2+10s^2=12+4c-8c^2$$$$=\frac{25}{2}-8{\left(c-\frac{1}{4}\right)}^2\leqq \frac{25}{2}.$$
ここで $c=1/4$ は $-1\leqq c\leqq1$ の範囲で実現し、$s=\pm\sqrt{15}/4$ も実数である。よって距離の最大値は $\frac52\sqrt2$ である。

$c-\sqrt5s$ を三角関数の合成で表す。 $\cos\phi=1/\sqrt6,\ \sin\phi=\sqrt{5/6}$ を満たす $0<\phi<\pi/2$ をとると
$$c-\sqrt5s=\sqrt6\cos(t+\phi)\leqq\sqrt6.$$
等号は $t=2\pi-\phi$ で成立し、このとき
$$(c,s)=\left(\frac1{\sqrt6},-\sqrt{\frac56}\right).$$
したがって
$$y=1+\frac1{\sqrt6}-\frac5{\sqrt6}=1-\frac23\sqrt6.$$

焦点を求めるため
$$u=\frac{x+y-2}{\sqrt2},\qquad v=\frac{y-x}{\sqrt2}$$
とおくと、媒介表示から $u=\sqrt2c,\ v=\sqrt{10}s$ なので
$$\frac{u^2}{2}+\frac{v^2}{10}=1.$$
中心は元の座標で $(1,1)$、長半径は $\sqrt{10}$、短半径は $\sqrt2$。したがって焦点距離は $\sqrt{10-2}=2\sqrt2$ で、焦点は $(u,v)=(0,\pm2\sqrt2)$ にある。逆変換
$$x=1+\frac{u-v}{\sqrt2},\qquad y=1+\frac{u+v}{\sqrt2}$$
より焦点は $(-1,3)$ と $(3,-1)$ である。(b)で使うFに合わせて $E=(-1,3),\ F=(3,-1)$ とする。

(b) 三角形 $OFP$ の面積を底辺と高さで求める。
$F=(3,-1)$ だから $\overrightarrow{OF}=(3,-1)$ であり、底辺 $OF$ の長さは $\sqrt{10}$ である。点 $P=(x,y)$ の位置ベクトルは $\overrightarrow{OP}=(x,y)$。$\vec n=\frac{1}{\sqrt{10}}(1,3)$ とおくと
$$\overrightarrow{OF}\cdot\vec n=\frac{3-3}{\sqrt{10}}=0,\qquad |\vec n|=\frac{\sqrt{1^2+3^2}}{\sqrt{10}}=1$$
なので、$\vec n$ は $OF$ に垂直な単位ベクトルである。点 $P$ から直線 $OF$ までの高さ $h$ は、$\overrightarrow{OP}$ の $\vec n$ 方向の成分の絶対値だから
$$h=|\overrightarrow{OP}\cdot\vec n|=\frac{|x+3y|}{\sqrt{10}}.$$
また、媒介表示から
$$\begin{aligned} x+3y&=(1+c-\sqrt5s)+3(1+c+\sqrt5s)\\ &=4+4c+2\sqrt5s. \end{aligned}$$$$x+3y=(1+c-\sqrt{5}s)+3(1+c+\sqrt{5}s)$$$$=4+4c+2\sqrt{5}s.$$
よって底辺と高さによる面積の公式から
$$\frac12|OF|h=\frac12\sqrt{10}\cdot\frac{|x+3y|}{\sqrt{10}}=\frac12|x+3y|=|2+2c+\sqrt5s|.$$
$\cos\phi=2/3,\ \sin\phi=\sqrt5/3$ を満たす $0<\phi<\pi/2$ をとると
$$2c+\sqrt5s=3\cos(t-\phi),\qquad -3\leqq2c+\sqrt5s\leqq3.$$
よって $-1\leqq2+2c+\sqrt5s\leqq5$ であり、面積の最大値は $5$。等号は $t=\phi$、すなわち $(c,s)=(2/3,\sqrt5/3)$ のときに限る。この条件は $0\leqq t<2\pi$ で実現する。そのとき
$$P=\left(1+\frac23-\frac53,\ 1+\frac23+\frac53\right)=\left(0,\frac{10}{3}\right).$$

この点で
$$\frac{dx}{dt}=-s-\sqrt5c=-\sqrt5\ne0,\qquad \frac{dy}{dt}=-s+\sqrt5c=\frac{\sqrt5}{3}.$$
したがって接線が存在し、その傾きは
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=-\frac13.$$