IV関西医科大学 2025年 数学 第IV問解答・解説

高さ $4x^{3}-3x+1$ は $x$ だけで決まるので、$x$ 一定の断面（長方形）で体積を積分し、$x=\cos\theta$ と置換すると $\cos3\theta+1$ が現れる。(4) は極座標 $(r,\,\varphi)$ で高さを $r^{3}\cos3\varphi+3(r^{3}-r)\cos\varphi+1$ と書くと、$120^{\circ}$ 回転で $\cos3\varphi$ が変わらないことが使える。

(1) $\cos3\theta=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta$。

(2) $4x^{3}-3x+1=(x+1)(2x-1)^{2}\geqq0$（$-1\leqq x\leqq1$）。$x$ 一定の断面は幅 $2\sqrt{1-x^{2}}$、高さ $4x^{3}-3x+1$ の長方形なので
$$V=\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{1}(4x^{3}-3x+1)\cdot2\sqrt{1-x^{2}}\,dx .$$
$x=\cos\theta$（$0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{3}$）とおくと
$$V=\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(\cos3\theta+1)\cdot2\sin^{2}\theta\,d\theta=\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}(\cos3\theta+1)(1-\cos2\theta)\,d\theta .$$
$\cos3\theta\cos2\theta=\dfrac{\cos5\theta+\cos\theta}{2}$ を使って
$$V=\left[\dfrac{\sin3\theta}{3}-\dfrac{\sin5\theta}{10}-\dfrac{\sin\theta}{2}+\theta-\dfrac{\sin2\theta}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}}=0+\dfrac{\sqrt{3}}{20}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}+\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{9\sqrt{3}}{20}.$$

(3) $S$ 全体の体積は、同じ置換で $\displaystyle\int_{0}^{\pi}(\cos3\theta+1)(1-\cos2\theta)\,d\theta=\pi$（$\cos$ の項の積分はすべて0）。よって $U$ の体積は $\pi-V$。

(4) 点 $(x,\,y)=(r\cos\varphi,\,r\sin\varphi)$ での高さは、(1) より
$$H(r,\,\varphi)=4r^{3}\cos^{3}\varphi-3r\cos\varphi+1=r^{3}\cos3\varphi+3(r^{3}-r)\cos\varphi+1 .$$
$T$ の底面の点 $\mathrm{P}(r,\,\varphi)$ は $r\cos\varphi\geqq\dfrac{1}{2}$ より $-\dfrac{\pi}{3}\leqq\varphi\leqq\dfrac{\pi}{3}$。回転後の点 $\mathrm{Q}\left(r,\,\varphi+\dfrac{2\pi}{3}\right)$ では $\cos3\varphi$ は変わらないので
$$H(\mathrm{Q})-H(\mathrm{P})=3r(r^{2}-1)\left\{\cos\left(\varphi+\dfrac{2\pi}{3}\right)-\cos\varphi\right\}.$$
$r^{2}-1\leqq0$、$\cos\varphi\geqq\dfrac{1}{2}\geqq\cos\left(\varphi+\dfrac{2\pi}{3}\right)$ なので $H(\mathrm{Q})\geqq H(\mathrm{P})$。つまり $\mathrm{P}$ の上の高さ $0\leqq z\leqq H(\mathrm{P})$ の線分は、回転後 $\mathrm{Q}$ の上で $S$ に含まれる。回転した立体はすべて $S$ に含まれ、求める体積は $V$。