IV鳥取大学 2023年 数学 第IV問解答・解説

指数関数の積分を用い、部分積分から得る漸化式を数学的帰納法で一般項へまとめる。

（1）
$$I_0=\int_0^x e^{-t}\,dt=\left[-e^{-t}\right]_0^x=1-e^{-x}.$$
部分積分により
$$I_1=\int_0^x te^{-t}\,dt=\left[-te^{-t}\right]_0^x+\int_0^x e^{-t}\,dt=-xe^{-x}+I_0=1-(x+1)e^{-x}.$$

（2）$n\geqq1$ とする。$u=t^n,\quad dv=e^{-t}dt$ として部分積分すると、$du=nt^{n-1}dt,\ v=-e^{-t}$ なので
$$I_n=\left[-t^ne^{-t}\right]_0^x+n\int_0^x t^{n-1}e^{-t}\,dt=-x^ne^{-x}+nI_{n-1}.$$
したがって
$$I_n=nI_{n-1}-x^ne^{-x}\quad(n=1,2,3,\ldots).$$

（3）
$$I_n=n!\left(1-e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\right)$$
を示す。$n=0$ では右辺は $1-e^{-x}=I_0$ である。$n-1$ で成り立つと仮定すると、（2）より
$$\begin{aligned} I_n&=n(n-1)!\left(1-e^{-x}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!}\right)-x^ne^{-x}\\ &=n!\left(1-e^{-x}\left(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!}+\frac{x^n}{n!}\right)\right)\\ &=n!\left(1-e^{-x}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}\right). \end{aligned}$$$$I_n=n(n-1)!\left(1-e^{-x}\sum _{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!}\right)-x^n{e}^{-x}$$$$=n!\left(1-e^{-x}\left(\sum _{k=0}^{n-1}\frac{x^k}{k!}+\frac{x^n}{n!}\right)\right)$$$$=n!\left(1-e^{-x}\sum _{k=0}^n\frac{x^k}{k!}\right).$$
よって数学的帰納法により、すべての $n=0,1,2,\ldots$ について成り立つ。