2藤田医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1)は逆関数を用いた置換と部分積分で端点公式を導く。(2)(3)ではそれぞれ逆関数を明示して公式を適用し、逆関数側の定積分を計算する。

(1) $f$ は逆関数をもつので区間上で単調であり，置換 $y=f(x)$ を行うと（減少関数の場合も積分区間の向きがそのまま反映される）
$$S_2=\int_{f(a)}^{f(b)}g(y)\,dy =\int_a^b g(f(x))f'(x)\,dx =\int_a^b x f'(x)\,dx.$$
部分積分をすると
$$S_2=[xf(x)]_a^b-\int_a^b f(x)\,dx =bf(b)-af(a)-S_1.$$
従って
$$S_1+S_2=bf(b)-af(a).$$

(2) $F(x)=\sqrt{\sqrt{1+x}-1}\ (3\leqq x\leqq99)$ とおくと，$F(3)=1,\ F(99)=3$。$y=F(x)$ を解くと
$$x=(y^2+1)^2-1=y^4+2y^2$$
となり，これが逆関数である。(1)を用いて
$$\int_3^{99}F(x)dx =99\cdot3-3\cdot1-\int_1^3(y^4+2y^2)dy.$$
逆関数側は
$$\int_1^3(y^4+2y^2)dy =\left[\frac{y^5}{5}+\frac{2y^3}{3}\right]_1^3 =\frac{986}{15}.$$
従って求める値は
$$294-\frac{986}{15}=\frac{3424}{15}.$$

(3) $F(x)=\sqrt{4/x-1}\ (1\leqq x\leqq3)$ とおくと
$$F(1)=\sqrt3,\qquad F(3)=\frac1{\sqrt3}, \qquad g(y)=\frac4{1+y^2}.$$
(1)の端点項は $3/\sqrt3-\sqrt3=0$ だから，求める積分は $-S_2$ である。$y=\tan\theta$ と置くと，積分の向きに注意して
$$S_2=4\int_{\sqrt3}^{1/\sqrt3}\frac{dy}{1+y^2} =4\int_{\pi/3}^{\pi/6}d\theta =-\frac{2\pi}{3}.$$
よって
$$\int_1^3\sqrt{\frac4x-1}\,dx=\frac{2\pi}{3}.$$
直接の検算として $x=4\sin^2\theta$（$\pi/6\leqq\theta\leqq\pi/3$）と置けば，被積分関数と $dx$ の積は $8\cos^2\theta\,d\theta$ となり，同じ値を得る。