香川大学 2022年数学第4問解答・解説

1問題

香川大学2022年度第4問

関数

f(x)=x\log x

について、次の問に答えよ。
(1) 不定積分

\displaystyle \int f(x)\,dx

を求めよ。
(2)

a>1

に対し、

\displaystyle I(a)=\int_{1}^{a}\{5f(x)-af'(x)\}\,dx

とおく。このとき、

I(a)

を

a

を用いて表せ。
(3)

a>1

における

I(a)

の最小値と、そのときの

a

の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

解答を見る途中式つきの解答

(1)

x>0

で部分積分を用いると

\begin{aligned} \int x\log x\,dx&=\frac{x^2}{2}\log x-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx\\ &=\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}+C. \end{aligned}

\int x lo g x d x = \frac{x ^{2}}{2} lo g x - \int \frac{x ^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{x ^{2}}{2} lo g x - \frac{x ^{2}}{4} + C .

(2)

f'(x)=\log x+1

だから

\begin{aligned} I(a)&=5\int_1^a x\log x\,dx-a\int_1^a(\log x+1)\,dx\\ &=5\left[\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}\right]_1^a-a\left[x\log x\right]_1^a\\ &=5\left(\frac{a^2}{2}\log a-\frac{a^2}{4}+\frac14\right)-a^2\log a\\ &=\frac32a^2\log a-\frac54a^2+\frac54. \end{aligned}

I (a) = 5 \int_{1}^{a} x lo g x d x - a \int_{1}^{a} (lo g x + 1) d x = 5 [\frac{x ^{2}}{2} lo g x - \frac{x ^{2}}{4}]_{1}^{a} - a [x lo g x]_{1}^{a} = 5 (\frac{a ^{2}}{2} lo g a - \frac{a ^{2}}{4} + \frac{1}{4}) - a^{2} lo g a = \frac{3}{2} a^{2} lo g a - \frac{5}{4} a^{2} + \frac{5}{4} .

(3)

a>1

において

I'(a)=3a\log a-a=a(3\log a-1).

a>0

なので、

I'(a)=0

となるのは

a=e^{1/3}

である。

1<a<e^{1/3}

では

I'(a)<0

、

a>e^{1/3}

では

I'(a)>0

だから、

I(a)

は

a=e^{1/3}

で最小となる。

\begin{aligned} I\left(e^{1/3}\right)&=\frac32e^{2/3}\cdot\frac13-\frac54e^{2/3}+\frac54\\ &=\frac{5-3e^{2/3}}{4}. \end{aligned}

I (e^{1/3}) = \frac{3}{2} e^{2/3} \cdot \frac{1}{3} - \frac{5}{4} e^{2/3} + \frac{5}{4} = \frac{5 - 3 e ^{2/3}}{4} .

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

この問題で使う考え方

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。