5神戸大学 2026年 数学 第5問解答・解説

(1)

二次方程式の解は、判別式 $-4r^{2}$ より
$$\alpha=\dfrac{1\pm ir}{1+r^{2}}.$$
実部と虚部を $x=\dfrac{1}{1+r^{2}}$、$y=\pm\dfrac{r}{1+r^{2}}$ とすると
$$\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}=\dfrac{(1-r^{2})^{2}/4+r^{2}}{(1+r^{2})^{2}}=\dfrac{1}{4}.$$
よってすべての $r>0$ で $\mathrm{A}$ は中心 $\dfrac{1}{2}$、半径 $\dfrac{1}{2}$ の円周上にあり、条件を満たす円 $C$ が存在する。

(2)

$\mathrm{B}=1$、$\mathrm{O}=0$ なので底辺 $\mathrm{OB}$ の長さは 1 であり、$\mathrm{A}$ から実軸までの距離は $|\alpha\text{ の虚部}|=\dfrac{r}{1+r^{2}}$ である。従って面積は
$$q(r)=\dfrac{r}{2(1+r^{2})}.$$
$r=te^{-t}$ は $r'(t)=e^{-t}(1-t)$ より、$t=1$ で最大値 $\dfrac{1}{e}$ をとる。さらに
$$q'(r)=\dfrac{1-r^{2}}{2(1+r^{2})^{2}}>0\qquad\left(0<r\leqq\dfrac{1}{e}<1\right).$$
面積はこの範囲で $r$ とともに増えるため、最大は $t=1$ で達成され、その値は
$$q\left(\dfrac{1}{e}\right)=\dfrac{e}{2(e^{2}+1)}.$$