2神戸大学 2026年 数学 第2問解答・解説

(1) $$f(x)=\frac12\sin(2\log x),\qquad f'(x)=\frac{\cos(2\log x)}{x}.$$
零点は $x=1,\ e^{\pi/2},\ e^\pi$。導関数の符号から、$x=e^{\pi/4}$ で極大値 $1/2$、$x=e^{3\pi/4}$ で極小値 $-1/2$ をとり、
$$\begin{array}{c|ccc} x&1\leqq x\leqq e^{\pi/4}&e^{\pi/4}\leqq x\leqq e^{3\pi/4}&e^{3\pi/4}\leqq x\leqq e^\pi\\ \hline f&\text{増加}&\text{減少}&\text{増加} \end{array}$$
となる。したがって、グラフは $(1,0)$ から増加して $(e^{\pi/4},1/2)$ に達し、$(e^{\pi/2},0)$ を通って $(e^{3\pi/4},-1/2)$ まで減少し、最後に $(e^\pi,0)$ まで増加する。

(2) $f(x)\geqq0$ となるのは $1\leqq x\leqq e^{\pi/2}$ である。$u=\log x$ と置くと $dx=e^u\,du$ なので、求める面積は
$$\begin{aligned} \int_1^{e^{\pi/2}}\sin(\log x)\cos(\log x)\,dx &=\int_0^{\pi/2}e^u\sin u\cos u\,du\\ &=\left[\frac{e^u(\sin 2u-2\cos 2u)}{10}\right]_0^{\pi/2}\\ &=\frac{e^{\pi/2}+1}{5}. \end{aligned}$$$${\int }_1^{e^{\pi /2}}\sin (\log x)\cos (\log x)dx={\int }_0^{\pi /2}{e}^u\sin u\cos udu$$$$={\left[\frac{e^u(\sin 2u-2\cos 2u)}{10}\right]}_0^{\pi /2}$$$$=\frac{e^{\pi /2}+1}{5}.$$
よって $\boxed{\dfrac{e^{\pi/2}+1}{5}}$。