1神戸大学 2026年 数学 第1問解答・解説

多項式の除法により余りを一次式として表し、各条件を係数条件に置き換えて、さいころの全216通りから該当する出方を数えた。

割り算の余りを求めるため、$x^{2}$ を $g(x)=x^{2}+cx+1$ で割ると、$x^{2}=g(x)-cx-1$ である。したがって $x^{3}=x\,g(x)-cx^{2}-x$。さらに $x^{2}=g(x)-cx-1$ を用いると $-cx^{2}-x=-c\,g(x)+(c^{2}-1)x+c$ となる。よって $x^{3}$ を $g(x)$ で割った余りは $(c^{2}-1)x+c$ である。
よって
$$r(x)=Ax+B,\qquad A=2c^2+1-ac,\qquad B=2c-a+b.$$
さいころの出方 $(a,b,c)$ は全部で $6^3=216$ 通りで、いずれも同様に確からしい。

(1) $r(x)=0$ となるには $A=B=0$ が必要十分である。$A=0$ より
$$c(a-2c)=1.$$
$c$ は正の整数なので $c=1$、さらに $a=3$ である。このとき $B=b-1$ だから、$B=0$ となるのは $b=1$ のときだけである。該当する出方は $1$ 通りなので、確率は $\frac{1}{216}$ である。

(2) $r(x)$ が0でない定数となる条件は $A=0$ かつ $B\ne0$ である。$A=0$ となるのは (1) と同じく $c=1, a=3$ の場合に限られ、このとき $B=b-1$ である。したがって $b=2,3,4,5,6$ の5通りであり、確率は $\frac{5}{216}$ である。

(3) $g(x)=0$ の判別式は $c^2-4$ である。$c=1$ では負、$c=2$ では0である。$c=3,4,5,6$ ではそれぞれ $5,12,21,32$ となり、いずれも平方数でない。よって有理数解をもつのは $c=2$ の場合に限る。このとき $a,b$ はそれぞれ6通りをとるため、該当する出方は $6\cdot6=36$ 通りであり、確率は $\frac{36}{216}=\frac{1}{6}$ である。

(4) $r(x)$ の次数が1である条件は $A\ne0$ である。$g(x)$ が $r(x)$ で割り切れるなら、一次式 $r(x)$ の根は $g(x)$ の有理数解でなければならない。(3) より $c=2$ であり、このとき $g(x)=(x+1)^2$ である。また $A=9-2a$ は $a=1,2,3,4,5,6$ のどの場合も0でない。従って $g(x)$ が $r(x)=Ax+B$ で割り切れる条件は $r(x)$ が $x+1$ の定数倍となること、すなわち $B=A$ である。これは
$$4-a+b=9-2a\quad\text{すなわち}\quad a+b=5$$
と同値であり、$(a,b)=(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$ の4通りである。よって確率は $\frac{4}{216}=\frac{1}{54}$ である。