I鳥取大学 2026年 数学 第I問解答・解説

(1)

高さ$u\geqq0$における容器の半径は、$u=e^{2x}-1$から$x=\dfrac{1}{2}\log(u+1)$である。よってその高さでの水平断面積は
$$A(u)=\pi x^{2}=\dfrac{\pi}{4}\{\log(u+1)\}^{2}$$
である。水面の高さを$y=y(t)$とすると、水の体積は$V(y)=\displaystyle\int_{0}^{y}A(u)\,du$である。注水量は毎分$a\pi$なので、連鎖律と積分の微分から
$$a\pi=\dfrac{dV}{dt}=A(y)\dfrac{dy}{dt}.$$
水面が高さ$b>0$にあるとき
$$\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{a\pi}{A(b)}=\dfrac{4a}{\{\log(b+1)\}^{2}}.$$
これが(1)の答えである。

(2)

水面の面積は$S(t)=A(y(t))=\dfrac{\pi}{4}\{\log(y+1)\}^{2}$である。したがって
$$\dfrac{dS}{dt}=\dfrac{dA}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{\log(y+1)}{y+1}\cdot\dfrac{dy}{dt}.$$
ここに$y=b$と(1)の式を代入すれば
$$\dfrac{dS}{dt}=\dfrac{2\pi a}{(b+1)\log(b+1)}.$$
これが(2)の答えである。両式は$b>0$で有限である。$b=0$では$A(0)=0$となるため、有限の瞬間速度はない。