III関西医科大学 2025年 数学 第III問解答・解説

$n$ を自然数とし、$m$ を3以上の整数とする。$1,\,2,\,\cdots,\,m$ の $m$ 個の数字の中から一つの数字を無作為に表示するルーレットがあり、このルーレットに表示される数字を用いてゲームの勝敗を次のように決める。

(i) 表示された数字が1であれば勝ちとしてゲームを終了する。
(ii) 表示された数字が、1回前に表示された数字と同じであれば負けとしてゲームを終了する。（注意：1回目に負けることはない。）
(iii) ゲームの勝敗が決まらなかった場合は引き分けとし、再度ルーレットをまわして新たな数字を表示させる。

ちょうど $n$ 回目に表示された数字によって、ゲームに勝つ確率を $a_{n}$、ゲームに負ける確率を $b_{n}$、引き分けとなる確率を $c_{n}$ とする。以下の設問に答えよ。

(1) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_{k}-b_{k})$ を $m$ を用いて表せ。

(2) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})$ を $c_{n}$ を用いて表せ。

(3) $c_{n}$ を $m$ を用いて表せ。

(4) $\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_{k}}{\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}b_{k}}$ を $m$ を用いて表せ。