4旭川医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

問1。$n\geqq2$ では、$n,n+1,n+2$ 回目が表であり、かつその時点で初めてゲームが終わるためには、$n-1$ 回目は裏でなければならない。そこで、$b_m$ を「長さ$m$で、3回連続して同じ面が出ることがなく、最後が裏である列の数」とする。末尾が裏1回だけの列は、その直前が表である長さ$m-1$の有効列に対応する。その数は表裏を入れ替える対称性から$b_{m-1}$。末尾が裏2回の列は、その直前が表である長さ$m-2$の有効列に対応するため$b_{m-2}$。よって$m\geqq3$で$b_m=b_{m-1}+b_{m-2}$、また$b_1=1,\ b_2=2$。したがって$a_1=1$、$a_n=b_{n-1}\ (n\geqq2)$より$a_2=1,\ a_3=2,\ a_4=3,\ a_5=5$。問2で定義された$F_n$と初項および漸化式が一致するので、$(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)=(1,1,2,3,5)$。
問2。$\alpha=\frac{1+\sqrt5}{2},\ \beta=\frac{1-\sqrt5}{2}$ とおくと、$|\alpha/2|<1, |\beta/2|<1$ であるから、与式を等比級数として項別に和を取れる。$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{F_n}{2^n}=\frac1{\sqrt5}\left(\frac{\alpha/2}{1-\alpha/2}-\frac{\beta/2}{1-\beta/2}\right)=\frac1{\sqrt5}\left(\frac{\alpha}{2-\alpha}-\frac{\beta}{2-\beta}\right).$$ ここで$\alpha+\beta=1,\ \alpha\beta=-1,\ \alpha-\beta=\sqrt5$ より$(2-\alpha)(2-\beta)=1$、また$\alpha(2-\beta)-\beta(2-\alpha)=2\sqrt5$。したがってこの級数の和は$2$。
問3。各$n$について、該当する列は$a_n=F_n$ 通りで、各列の確率は$2^{-(n+2)}$ である。よって$P_n=F_n/2^{n+2}$ となり、問2の結果から$$\sum_{n=1}^{\infty}P_n=\frac14\sum_{n=1}^{\infty}\frac{F_n}{2^n}=\frac12.$$

終了時刻が$n+2$回目なら、その直前の長さ$n-1$の列は3連続を含まず、$n\geqq 2$では裏で終わる。その個数は$F_{n}$。したがって問1は$(1,1,2,3,5)$。問2の一般項を二つの収束等比級数に分けると和は$2$。各$n$で有利な列は$F_{n}$通り、確率は$\dfrac{F_{n}}{2^{n+2}}$だから問3の和は$\dfrac{1}{2}$。