II関西医科大学 2025年 数学 第II問解答・解説

$n^{2}-m^{2}=(n-m)(n+m)$ で、2つの因数は偶奇が同じ。(3) は和が $\dfrac{(n-m+1)(m+n)}{2}$ で、2つの因数は偶奇が異なる。いずれも約数の組を数える。

(1) $(n-m)(n+m)=2024$ で、$n-m$ と $n+m$ は偶奇が同じ。積が偶数なので両方偶数。$n-m=2p$、$n+m=2q$ とおくと $pq=506=2\cdot11\cdot23$、$p<q$（$m\geqq1$）。506 の約数は8個で平方数でないから、$p<q$ の組は4通り。よって 4 通り（$(m,\,n)=(505,\,507),\,(251,\,255),\,(35,\,57),\,(1,\,45)$）。

(2) $2025=3^{4}\cdot5^{2}$ は奇数なので、$n-m=d$、$n+m=e$（$de=2025$、$d<e$、ともに奇数）に対し $m,\,n$ が1組決まる。約数は $5\cdot3=15$ 個で、$d=e=45$ は $m=0$ となり除く。よって $\dfrac{15-1}{2}=7$ 通り。

(3) $m+(m+1)+\cdots+n=\dfrac{(n-m+1)(n+m)}{2}=2025$ より $(n-m+1)(n+m)=4050$。$L=n-m+1$、$K=n+m$ とおくと $K-L=2m-1$ は正の奇数なので、$L<K$ で偶奇が異なる。逆にこのような組から $m=\dfrac{K-L+1}{2}\geqq1$、$n=\dfrac{K+L-1}{2}$ が決まる。$4050=2\cdot3^{4}\cdot5^{2}$ は2を1個だけ含むので、約数の組はいつも偶奇が異なる。約数は $2\cdot5\cdot3=30$ 個で、$L<K$ の組は15通り。$m<n$ より $L\geqq2$ なので $L=1$ を除いて 14 通り。