1杏林大学 2023年 数学 第1問解答・解説

複数の玉が入った袋から玉を 1 個取り出して袋に戻す事象を考える。どの玉も同じ確率で取り出されるものとし、$n$ を自然数として、以下の問いに答えよ。

(1) 袋の中に赤玉 1 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、取り出した玉と同じ色の玉をひとつ加え、合計 2 個の玉を袋に戻すという試行を繰り返す。$n$ 回目の試行において赤玉が取り出される確率を $p_{n}$ とすると、次式が成り立つ。
$$p_{2}=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}},\qquad p_{3}=\dfrac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}$$

(2) 袋の中に赤玉 3 個と黒玉 2 個が入っている。この袋の中から玉を 1 個取り出し、赤玉と黒玉を 1 個ずつ、合計 2 個の玉を袋に戻す試行を繰り返す。$n$ 回目の試行において赤玉が取り出される確率を $P_{n}$ とすると、次式が成り立つ。
$$P_{2}=\dfrac{\boxed{\text{オカ}}}{\boxed{\text{キク}}},\qquad P_{3}=\dfrac{\boxed{\text{ケコ}}}{\boxed{\text{サシ}}}$$
$n$ 回目の試行開始時点で袋に入っている玉の個数 $M_{n}$ は $M_{n}=n+\boxed{\text{ス}}$ であり、この時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数 $R_{n}$ は $R_{n}=M_{n}\times P_{n}$ と表される。$n$ 回目の試行において黒玉が取り出された場合にのみ、試行後の赤玉の個数が試行前と比べて $\boxed{\text{セ}}$ 個増えるため、$n+1$ 回目の試行開始時点で袋に入っていると期待される赤玉の個数は $R_{n+1}=R_{n}+(1-P_{n})\times \boxed{\text{セ}}$ となる。したがって
$$P_{n+1}=\dfrac{n+\boxed{\text{ソ}}}{n+\boxed{\text{タ}}}\times P_{n}+\dfrac{1}{n+\boxed{\text{チ}}}$$
が成り立つ。このことから
$$(n+3)\times\left(n+\boxed{\text{ツ}}\right)\times\left(P_{n}-\dfrac{\boxed{\text{テ}}}{\boxed{\text{ト}}}\right)$$
が $n$ に依らず一定となることがわかり、
$$\lim_{n\to\infty}P_{n}=\dfrac{\boxed{\text{ナ}}}{\boxed{\text{ニ}}}$$
と求められる。