I関西医科大学 2025年 数学 第I問解答・解説

(1) 放物線は「焦点までの距離＝準線までの距離」。準線が原点のどちら側にあるかで場合分けする。(2) は $\cos x=c$ とおくと $4c(1-c)=k$ となり、$c$ の2次関数のグラフと直線 $y=k$ の共有点を数える。$c$ 1つに $x$ が何個対応するかに注意する。

(1) $C$：中心 $(1,\,0)$、半径1の円で、$x^{2}+y^{2}=2x$ に $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ を代入して $r=2\cos\theta$。

$D$：点 $(r\cos\theta,\,r\sin\theta)$ から準線までの距離は $\left|\dfrac{a}{2}-r\cos\theta\right|$。

- $a>0$ のとき、放物線は原点と同じ側（$x<\dfrac{a}{2}$）にあるので $r=\dfrac{a}{2}-r\cos\theta$、$r=\dfrac{a}{2(1+\cos\theta)}$。
- $a<0$ のとき $r=r\cos\theta-\dfrac{a}{2}$、$r=-\dfrac{a}{2(1-\cos\theta)}$。

(2) $f(x)=g(x)\iff 4\cos x(1-\cos x)=k$（$0<x<2\pi$ では $\cos x\neq1$）。$c=\cos x$ とおくと $-1\leqq c<1$ で
$$h(c)=4c-4c^{2}=k .$$
$h$ は $-1\leqq c\leqq\dfrac{1}{2}$ で $-8$ から $1$ まで増加し、$\dfrac{1}{2}\leqq c<1$ で $1$ から $0$ に向かって減少する（$0$ にはならない）。$-1<c<1$ の $c$ 1つに $x$ は2個、$c=-1$ には $x=\pi$ の1個が対応する。

- $k>1$：解なし → 0 個
- $k=1$：$c=\dfrac{1}{2}$ → 2 個
- $0<k<1$：$0<c<\dfrac{1}{2}$ と $\dfrac{1}{2}<c<1$ に1つずつ → 4 個
- $k=0$：$c=0$ のみ → 2 個
- $-8<k<0$：$-1<c<0$ に1つ → 2 個
- $k=-8$：$c=-1$ → 1 個
- $k<-8$：0 個