2佐賀大学 2023年 数学 第2問解答・解説

0から3までの数字を1つずつ書いた4枚のカードがある。この中から1枚のカードを取り出し、数字を確認してからもとへもどす。これを $n$ 回くり返したとき、取り出されたカードの数字の総和を $S_n$ で表す。$S_n$ が3で割り切れる確率を $p_n$ とし、$S_n$ を3で割ると1余る確率を $q_n$ とするとき、次の問に答えよ。
(1) $p_{n+1}$ および $q_{n+1}$ を $p_n,q_n$ を用いて表せ。
(2) $p_n$ および $q_n$ を $n$ を用いて表せ。また、極限値 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}p_n$ および $\displaystyle \lim_{n\to\infty}q_n$ を求めよ。