3大分大学 2022年 数学 第3問解答・解説

隣接頂点の対称性を用いて確率の漸化式を立て，定常値との差を等比数列として一般項と極限を求める。

(1) 最初の1歩では、頂点Aにつながる3本の辺のいずれかを同じ確率で選ぶので、Aに戻ることはできず、B、C、Dのそれぞれに達する確率は$\frac13$である。したがって、
$$P_1(A)=0,\qquad P_1(B)=P_1(C)=P_1(D)=\frac13.$$
(2) 2本の辺を伝ってAに達する経路は、AからB、C、Dのいずれかへ進み、そこからAへ戻る経路である。各経路の確率は$\frac13\cdot\frac13=\frac19$であり、3通りあるから、
$$P_2(A)=3\cdot\frac19=\frac13.$$
2本の辺を伝ってBに達するには、AからCまたはDへ進んでからBへ進む。各経路の確率は$\frac19$であり、2通りあるから、
$$P_2(B)=2\cdot\frac19=\frac29.$$
(3) $n$本の辺を伝った後にB、C、Dにいる確率は、対称性により等しいものとし、それを$q_{n}$とおく。また$p_{n}=P_{n}(A)$とする。頂点はA、B、C、Dのいずれかなので、
$$p_{n}+3q_{n}=1.$$
Aに達するには、直前にB、C、Dのいずれかにいて、そこからAへ進む必要がある。各頂点からAへ進む確率は$\frac13$だから、
$$p_{n+1}=3q_{n}\cdot\frac13=q_{n}=\frac{1-p_{n}}{3}.$$
出発時には$p_{0}=1$である。したがって、
$$p_{n+1}-\frac14=-\frac13\left(p_{n}-\frac14\right),$$
よって$\{p_{n}-\frac14\}$は初項$\frac34$、公比$-\frac13$の等比数列である。したがって、
$$P_{n}(A)=p_{n}=\frac14+\frac34\left(-\frac13\right)^{n}\quad(n\geqq 1).$$
実際、$n=1$では0、$n=2$では$\frac13$となり、(1)、(2)と一致する。また$\left|-\frac13\right|<1$より$\left(-\frac13\right)^{n}\to 0$だから、
$$\lim_{n\to\infty}P_{n}(A)=\frac14.$$