3名古屋市立大学 2024年 数学 第3問解答・解説

10で割った余りの周期を調べ、条件を満たす整数を20周期ごとに数える。

(1) $3^n$ の一の位は $3,9,7,1$ を周期4で繰り返し、$2^n$ の一の位は $2,4,8,6$ を周期4で繰り返す。したがって、$n\equiv1,2,3,0\pmod4$ の順に $3^n-2^n$ の余りは $1,5,9,5$ である。

(2) (1)より、$3^n-2^n$ の余りは $n\equiv1,2,3,0\pmod4$ の順に $1,5,9,5$ となる。また、$4n$ の余りは5周期で繰り返すので、$r_n$ は20周期で繰り返す。実際、$n=1,2,\ldots,20$ に対する余りは順に次の通りである。
$$\begin{array}{c|rrrrrrrrrrrrrrrrrrrr} n&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\\hline r_n&5&3&1&1&1&9&7&7&7&5&3&3&3&1&9&9&9&7&5&5 \end{array}$$
このうち $r_n=7$ となるのは $n=7,8,9,18$ である。20周期を考慮すると、該当する正の整数は小さい順に各周期で $20k+7,20k+8,20k+9,20k+18$（$k=0,1,2,\ldots$）である。各周期に4個ずつあるから、100番目は第25周期の4番目であり、$k=24$ として $a_{100}=20\cdot24+18=498$。