1和歌山県立医科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

約数を素因数ごとに分類して約数和を求め，倍数条件を整数の等式に直してkを絞る。

(1) $10$の正の約数は$1,2,5,10$であり，$20$の正の約数は$1,2,4,5,10,20$である。したがって$$f(10)=1+2+5+10=18,\qquad f(20)=1+2+4+5+10+20=42.$$
(2) $2^k$の正の約数は$1,2,2^2,\ldots,2^k$であるから，等比数列の和より$$f(2^k)=1+2+2^2+\cdots+2^k=2^{k+1}-1.$$
(3) $N=5\cdot2^k$の約数は$2^i$と$5\cdot2^i$ ($i=0,1,\ldots,k$) である。よって$$f(N)=(1+5)(1+2+\cdots+2^k)=6(2^{k+1}-1).$$ $f(N)=mN$となる整数$m$があると仮定すると$$6(2^{k+1}-1)=5\cdot2^k m,\qquad 2^k(12-5m)=6.$$ $k$は正の整数なので$2^k$が$6$を割り切るには$k=1$でなければならないが，そのとき$2(12-5m)=6$より$5m=9$となり，整数$m$は存在しない。したがって該当する$k$はない。
(4) $21$の正の約数の和は$1+3+7+21=32$である。したがって$$f(N)=32(1+2+\cdots+2^k)=32(2^{k+1}-1).$$ $f(N)=mN$とおくと$$2^k(64-21m)=32.$$ よって$2^k$は$32$を割り切り，$k$は1以上5以下である。さらに$64-21m=2^{5-k}$であり，$k=1,2,3,4$のとき左辺から$21m=48,56,60,62$となって整数$m$は得られない。一方$k=5$なら$21m=63$，すなわち$m=3$となる。したがって$k=5$であり，$N=2^5\cdot21=672$である。

補足（自然数に $0$ を含める場合）：(3) $k=0$ では $N=5$ で $f(5)=6$ となり，$6$ は $N$ の倍数ではない。(4) $k=0$ では $N=21$ で $f(21)=32$ となり，$32$ は $N$ の倍数ではない。したがって，上記の論証は $k\geqq1$ の場合であり，最終結論は変わらない。